Trong không gian $ Oxyz $, cho điểm $ M(1;0;1) $ và hai mặt phẳng $ (Q):x+y-3z-5=0 $, $ (R):x+2y-z-1=0 $.

a) Sai. Mặt phẳng $ (Q) $ có vectơ pháp tuyến là $ \overset\rightarrow { n_{ 1 } }=(1;1;-3) $. Mặt phẳng $ (R) $ có vectơ pháp tuyến là $ \overset\rightarrow { n_{ 2 } }=(1;2;-1) $. - Thay tọa độ điểm $ M $ vào phương trình mặt phẳng $ (R) $ ta được: $ 1+2.0-1-1\neq 0 $ nên mặt phẳng $ (R) $ không đi qua điểm $ M $. b) Đúng.- Ta có: $ d(M;(Q))=\frac { \|1+0-3-5\| } { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } } }=\frac { 7 } { \sqrt[] { 11 } } $. c) Sai. - Gọi $ (\alpha ) $ là mặt phẳng cần tìm. Do $ (\alpha ) $ song song với (Q) nên có vectơ pháp tuyến $ n=\overset\rightarrow { n_{ 1 } }=(1;1;-3) $. Mặt phẳng $ (\alpha ) $ đi qua điểm $ M $ và có vectơ pháp tuyến $ n=(1;1;-3) $ nên có phương trình: $ (x-1)+(y-0)-3(z-1)=0⇔x+y-3z+2=0 $ d) Đúng. - Gọi mặt phẳng cần tìm là $ (P) $. Mặt phẳng $ (P) $ vuông góc với hai mặt phẳng $ (Q),(R) $ nên $ (P) $ có cặp vectơ chỉ phương là $ \overset\rightarrow { n_{ 1 } }=(1;1;-3) $, $ \overset\rightarrow { n_{ 2 } }=(1;2;-1) $. Do đó, mặt phẳng $ (P) $ có vectơ pháp tuyến là: $ n=\left[ \overset\rightarrow { n_{ 1 } },\overset\rightarrow { n_{ 2 } } \right]=(5;-2;1) $. Mặt phẳng $ (P) $ có vectơ pháp tuyến $ n=(5;-2;1) $ nên có phương trình $ 5x-2y+z+d=0 $. Do $ d(M,(P))=\sqrt[] { 30 } $ nên ta có $ \frac { \|5.1-2.0+1.1+d\| } { \sqrt[] { 5 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +1 } }=\frac { \|6+d\| } { \sqrt[] { 30 } }=\sqrt[] { 30 }⇒\|6+d\|=30 $ $ ⇒d=-36 $ hoặc $ d=24 $. Do đó phương trình mặt phẳng $ (P) $ là $ 5x-2y+z-36=0{ \rm{ hoac } }5x-2y+z+24=0 $ Khi đó $ b+c+d=-2+1-36=-37 $ hoặc $ b+c+d=-2+1+24=23 $.