(Sở Bắc Ninh 2025) Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng hơi, Bình và An tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho An, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của An và rơi xuống vị trí cách chỗ An đứng $ 0,5\,{ \rm{ m } } $ và cách chỗ Bình $ 4,5\,{ \rm{ m } } $. Chọn hệ trục tọa độ $ Oxyz $ sao cho gốc tọa độ $ O $ tại vị trí của Bình, vị trí của An nằm trên tia $ Ox $ và mặt phẳng $ Oxy $ là mặt đất (tham khảo hình vẽ) Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ):x+by+cz+d=0 $ và $ \left ( { \alpha } \right ) $ vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của $ -5b ^ { 2 } -c ^ { 2 } +3d ^ { 2 } $ bằng bao nhiêu?

Quả bóng rơi xuống tại điểm $ A\left ( { \sqrt[] { 20 };0,5;0 } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ):x+by+cz+d=0 $ đi qua $ O $ nên $ d=0 $, điểm $ A\left ( { \sqrt[] { 20 };0,5;0 } \right ) $ thuộc $ \left ( { \alpha } \right ) $ nên có $ \sqrt[] { 20 }+0,5b=0⇔b=-4\sqrt[] { 5 } $. Mặt khác $ \left ( { \alpha } \right ) $ vuông góc với mặt đất nên $ \overset\rightarrow { n }_{ \left ( { \alpha } \right ) } ⊥\overset\rightarrow { n }_{ \left ( { Oxy } \right ) } ⇔\overset\rightarrow { n }_{ \left ( { \alpha } \right ) } .\overset\rightarrow { k }=0⇔c=0 $. Vậy mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ) $ có phương trình là $ \left ( { \alpha } \right ):x-4\sqrt[] { 5 }y=0 $. $ -5b ^ { 2 } -c ^ { 2 } +3d ^ { 2 } =-400 $.