Trong không gian $ Oxyz $, cho ba điểm $ A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) $, ở đó $ a,b,c $ là ba số thực dương thay đổi thỏa mãn $ \frac { 1 } { a }+\frac { 2 } { b }+\frac { 3 } { c }=2024 $.

a) Sai.- Các điểm $ A,B,C $ là giao điểm của mặt phẳng $ (ABC) $ với các trục tọa độ $ Ox,Oy,Oz $, nên phương trình mặt phẳng $ (ABC) $ là $ \frac { x } { a }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }=1 $. b) Đúng.- Từ $ \frac { 1 } { a }+\frac { 2 } { b }+\frac { 3 } { c }=2024 $, chia cả hai vế cho 2024 ta suy ra $ \frac { 1 } { 2024a }+\frac { 2 } { 2024b }+\frac { 3 } { 2024c }=1 $, do đó mặt phẳng $ (ABC) $ luôn đi qua điểm $ S\left ( { \frac { 1 } { 2024 };\frac { 2 } { 2024 };\frac { 3 } { 2024 } } \right ) $. c) Đúng.- Ta có: $ m=d(O,(ABC))=\frac { \left | { \frac { 1 } { a }⋅0+\frac { 1 } { b }⋅0+\frac { 1 } { c }⋅0-1 } \right | } { \sqrt[] { \frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { b ^ { 2 } }+\frac { 1 } { c ^ { 2 } } } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { \frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { b ^ { 2 } }+\frac { 1 } { c ^ { 2 } } } } $, do đó $ \frac { 1 } { m ^ { 2 } }=\frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { b ^ { 2 } }+\frac { 1 } { c ^ { 2 } } $. d) Sai. - Ta có $ m\leq OS $ với mọi số thực $ a,b,c $. Do đó khoảng cách giữa $ O $ và $ (ABC) $ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $ OS⊥(ABC) $, khi đó một vectơ pháp tuyến của $ (ABC) $ là $ n=(1;2;3) $. Mặt phẳng $ (ABC) $ đi qua $ S $ và có vectơ pháp tuyến là $ n $ nên phương trình $ (ABC) $ khi đó là $ x+2y+3z-\frac { 7 } { 1012 }=0 $ Khi đó $ A\left ( { \frac { 7 } { 1012 };0;0 } \right ),B\left ( { 0;\frac { 7 } { 2024 };0 } \right ),C\left ( { 0;0;\frac { 7 } { 3036 } } \right ) $.