Trong không gian $ Oxyz $, phương trình mặt phẳng $ (P) $ đi qua $ A(1;1;1),B(0;2;2) $ đồng thời cắt trục $ Ox,Oy $ lần lượt tại hai điểm $ M,N $ (không trùng với gốc toạ độ $ O $) sao cho $ OM=2ON $ là $ x+by+cz+d=0 $ với $ b>0 $. Khi đó $ b+c-d $ bằng bao nhiêu?

Giả sử $ (P) $ đi qua 3 điểm $ M(a;0;0),N(0;b;0),P(0;0;c) $. Suy ra $ (P):\frac { x } { a }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }=1 $. Mà $ (P) $ đi qua $ A(1;1;1),B(0;2;2) $ nên ta có hệ: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac { 1 } { a }+\frac { 1 } { b }+\frac { 1 } { c }=1 \\ \frac { 2 } { b }+\frac { 2 } { c }=1 \\ \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=2 \\ \frac { 2 } { b }+\frac { 2 } { c }=1 \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $ Theo giả thiết, ta có: $ OM=2ON⇔|a|=2|b| $ Vì $ a=2 $ và $ b>0 $ nên $ b=1 $. Từ đó $ c=-2 $. Phương trình mặt phẳng $ (P) $ là $ \frac { x } { 2 }+\frac { y } { 1 }+\frac { z } { -2 }=1⇔x+2y-z-2=0 $ Suy ra $ b+c-d=2+(-1)-(-2)=3 $.