Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(0; -1; 2)$ và $N(-1; 1; 3)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M, N$ sao cho khoảng cách từ điểm $K(0; 0; 2)$ đến mặt phẳng $(P)$ là lớn nhất là $ax + by + cz + d = 0$. Giá trị của $S = a + 2b + 3c + d$ bằng bao nhiêu?

Lời giải Gọi vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n} = (A; B; C)$ ($A^2 + B^2 + C^2 \neq 0$). Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng: $$ Ax + B(y + 1) + C(z - 2) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + B - 2C = 0 $$ Ta có $N(-1; 1; 3) \in (P)$ nên: $$ -A + B + 3C + B - 2C = 0 \Leftrightarrow A = 2B + C $$ Phương trình $(P)$ trở thành: $$ (2B + C)x + By + Cz + B - 2C = 0 $$ Khoảng cách từ $K(0; 0; 2)$ đến $(P)$ là: $$ d(K, (P)) = \frac{|B(0) + C(2) + B - 2C|}{\sqrt{(2B+C)^2 + B^2 + C^2}} = \frac{|B|}{\sqrt{5B^2 + 2C^2 + 4BC}} $$ Xét biểu thức $f(B, C) = 5B^2 + 2C^2 + 4BC = 2(C+B)^2 + 3B^2$. Chia cả tử và mẫu cho $|B|$ (với $B \neq 0$): $$ d(K, (P)) = \frac{1}{\sqrt{2(\frac{C}{B}+1)^2 + 3}} \leq \frac{1}{\sqrt{3}} $$ Dấu "$=$" xảy ra khi $C = -B$. Chọn $C = -1, B = 1 \Rightarrow A = 2(1) - 1 = 1$. Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là $x + y - z + 1 - 2(-1) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 3 = 0$. Ta có $S = 1 + 2(1) + 3(-1) + 3 = 1 + 2 - 3 + 3 = 3$.