Cho hàm số $y=f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x+d}$ có đồ thị hàm số $g(x)=f'(x)$ là hai nhánh đường cong cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-5$, nhận đường thẳng $x=-1$ làm tiệm cận đứng và đường thẳng $y=-2$ là tiệm cận ngang như hình vẽ.

a) Sai. Ta có đạo hàm của $ f\left ( { x } \right ) $ có dạng $ g\left ( { x } \right )=\frac { h\left ( { x } \right ) } { \left ( { x+d } \right ) ^ { 2 } } $. Do đó hàm số $ y=g\left ( { x } \right ) $ có tiệm cận đứng là $ x=-d⇒-d=-1⇒d=1 $. b) Đúng. Ta có $ f\left ( { x } \right )=\frac { ax ^ { 2 } +bx+c } { x+1 }⇒f'\left ( { x } \right )=\frac { ax ^ { 2 } +2ax+b-c } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } } $. Do đó đồ thị hàm số $ f'\left ( { x } \right ) $ có tiệm cận ngang: $ y=a⇒a=-2 $. Giao của đồ thị hàm số $ f'\left ( { x } \right ) $ với trục tung: $ x=0⇒y=b-c⇒b-c=-5 $. Suy ra $ f'\left ( { x } \right )=\frac { -2x ^ { 2 } -4x-5 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } } $. Khi đó $ f'\left ( { x } \right )+2=\frac { -4 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } } < 0 $ với mọi $ x\in \mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\} $. Vậy $ f'\left ( { x } \right ) < -2 $ với mọi $ x\in \mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\} $. Nhận xét: Thực tế học sinh có thể chỉ cần quan sát đồ thị của $ f'\left ( { x } \right ) $ là đã đưa ra được khẳng định. c) Đúng. Do $ f'\left ( { x } \right ) < 0 $ với mọi $ x\in \mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\} $ nên ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ luôn cắt đường thẳng $ y=0 $ tại hai điểm phân biệt. Do đó phương trình $ f\left ( { x } \right )=0 $ có hai nghiệm phân biệt. d) Đúng. Do hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ nghịch biến trên $ \left[ 0;4 \right] $ nên $ \mathop { \max } \limits_{ \left[ 0;1 \right] } f\left ( { x } \right )=f\left ( { 0 } \right )=c⇒c=4 $. Mà $ b-c=-5⇒b=-1 $. Do đó $ f\left ( { x } \right )=\frac { -2x ^ { 2 } -x+4 } { x+1 }=-2x+1+\frac { 3 } { x+1 } $. Vậy đường thẳng $ y=-2x+1 $ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $.