Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thang, $ AB $//$ CD $ và $ AB=2CD $. Gọi $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD $. Lấy $ E $ thuộc cạnh $ SA $, $ F $ thuộc cạnh $ SC $ sao cho $ \frac { SE } { SA }=\frac { SF } { SC }=\frac { 2 } { 3 } $. Gọi $ \left ( { α } \right ) $ là mặt phẳng qua $ O $ và song song với mặt phẳng $ \left ( { BEF } \right ) $. Giao tuyến của mặt phẳng $ \left ( { SCD } \right ) $và $ \left ( { α } \right ) $ cắt $ SD $ tại $ P $. Tính tỉ số $ \frac { SP } { SD } $ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Vì $ \frac { SE } { SA }=\frac { SF } { SC }=\frac { 2 } { 3 } $ nên đường thẳng $ EF $ // $ AC $. Mà $ EF⊂\left ( { BEF } \right ) $, $ AC⊄\left ( { BEF } \right ) $ nên $ AC $ song song với mặt phẳng $ \left ( { BEF } \right ) $. Vì $ AC $ qua $ O $ và song song với mặt phẳng $ \left ( { BEF } \right ) $ nên $ AC⊂\left ( { α } \right ) $. Trong $ \left ( { SAC } \right ) $, gọi $ I=SO∩EF $, trong $ \left ( { SBD } \right ) $, gọi $ N=BI∩SD $. Suy ra $ N $ là giao điểm của đường thẳng $ SD $ với mặt phẳng $ \left ( { BEF } \right ) $. Hai mặt phẳng song song $ \left ( { BEF } \right ) $ và $ \left ( { α } \right ) $ bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba là $ \left ( { SCD } \right ) $ theo hai giao tuyến lần lượt là $ FN $và $ Ct $ nên hai giao tuyến đó song song nhau, tức là $ Ct $ // $ FN $. Trong $ \left ( { SCD } \right ) $, $ Ct $ cắt $ SD $ tại $ P $. Khi đó $ P $ là giao điểm của $ SD $ với $ \left ( { α } \right ) $. Trong hình thang $ ABCD $, do $ AB $//$ CD $ và $ AB=2CD $ nên $ \frac { BO } { OD }=\frac { AB } { CD }=2⇒\frac { BO } { BD }=\frac { 2 } { 3 } $. Trong tam giác $ SAC $, có $ EF $ // $ AC $ nên $ \frac { SE } { SA }=\frac { SI } { SO }=\frac { 2 } { 3 }⇒\frac { IS } { IO }=2 $. Xét tam giác $ SOD $ với cát tuyến $ NIB $, ta có: $ \frac { NS } { ND }.\frac { BD } { BO }.\frac { IO } { IS }=1⇒\frac { NS } { ND }=\frac { BO } { BD }.\frac { IS } { IO }=\frac { 2 } { 3 }.2=\frac { 4 } { 3 } $. Suy ra: $ \frac { SN } { SD }=\frac { 4 } { 7 } $. Lại có: $ \frac { SN } { SP }=\frac { SF } { SC }=\frac { 2 } { 3 } $. Từ $ \frac { SN } { SD }=\frac { 4 } { 7 } $ và $ \frac { SN } { SP }=\frac { 2 } { 3 } $ suy ra $ \frac { SP } { SD }=\frac { 6 } { 7 }≈0,86 $.