Hình vẽ bên là một lưới ô vuông có kích thước $3\times2$ gồm 12 nút lưới. Từ 12 nút lưới có thể chọn ra 3 nút để làm 3 đỉnh của một tam giác vuông (xem hình minh họa). Hỏi có bao nhiêu tam giác vuông có 3 đỉnh lấy từ 12 nút lưới ô vuông đã cho.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ trong các trường hợp sau: +) TH1: $	riangle ABC$ có $AB,AC$ là cạnh của hình vuông, hình chữ nhật tạo bởi 4 nút lưới. .) Từ 12 nút lưới ta có 18 hình vuông, hình chữ nhật. .) Mỗi hình vuông, hình chữ nhật tạo thành 4 tam giác $ABC$ vuông. Vậy có $18\cdot4=72$ tam giác $ABC$ vuông. [IMAGE:question_images/10-27. HOAN VI - CHINH HOP - TO HOP/F. BAI TAP NANG CAO/image732.png] +) TH2: $	riangle ABC$ có $AB,AC$ là đường chéo của hình vuông, hình chữ nhật tạo bởi 4 nút lưới. [IMAGE:question_images/10-27. HOAN VI - CHINH HOP - TO HOP/F. BAI TAP NANG CAO/image733.png] Giả sử độ dài cạnh hình vuông nhỏ là 1. .) Độ dài có thể có của $AB,AC$ là $\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{8},\sqrt{10},\sqrt{13}$. .) Độ dài có thể có của $BC$ là $2,3,\sqrt{5},\sqrt{8},\sqrt{10},\sqrt{13}$. Mà ta có $AB^2+AC^2=BC^2$ nên có các bộ $(AB;AC;BC)$ là: $(\sqrt{2};\sqrt{2};2)$, $(\sqrt{5};\sqrt{8};\sqrt{13})$, $(\sqrt{5};\sqrt{5};\sqrt{10})$, $(\sqrt{2};\sqrt{8};\sqrt{10})$. . Xét $(\sqrt{2};\sqrt{2};2)$ có $4\cdot2+6=14$ tam giác. [IMAGE:question_images/10-27. HOAN VI - CHINH HOP - TO HOP/F. BAI TAP NANG CAO/image744.png] . Xét $(\sqrt{5};\sqrt{8};\sqrt{13})$ không có tam giác thỏa mãn. . Xét $(\sqrt{5};\sqrt{5};\sqrt{10})$ có 4 tam giác. [IMAGE:question_images/10-27. HOAN VI - CHINH HOP - TO HOP/F. BAI TAP NANG CAO/image745.png] . Xét $(\sqrt{2};\sqrt{8};\sqrt{10})$ có 4 tam giác. [IMAGE:question_images/10-27. HOAN VI - CHINH HOP - TO HOP/F. BAI TAP NANG CAO/image746.png] Suy ra trường hợp này có $14+4+4=22$ tam giác. Vậy có $72+22=94$ tam giác thỏa mãn bài toán.

Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 40