Bài tập nâng cao · Bài 39
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 39
Từ các chữ số $1;2;3;4;5;6$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị.
Xem lời giải
Lời giải
Các số tự nhiên có 6 chữ số có dạng: $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}$, với $a_i\in\{1;2;3;4;5;6\}$ và $a_i\neq a_j$ khi $i\neq j$, sao cho $a_1+a_2+a_3=a_4+a_5+a_6-1$.
Ta có $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=1+2+3+4+5+6=21$.
$\Rightarrow a_4+a_5+a_6=11$; $a_1+a_2+a_3=10$ (1). Vì $a_1,a_2,a_3\in\{1;2;3;4;5;6\}$ và các chữ số khác nhau nên hệ thức (1) chỉ có thể thỏa mãn ba khả năng sau:
$a_1=1,a_2=3,a_3=6$ và các hoán vị của ba số 1, 3, 6.
$a_1=1,a_2=4,a_3=5$ và các hoán vị của ba số 1, 4, 5.
$a_1=2,a_2=3,a_3=5$ và các hoán vị của ba số 2, 3, 5.
Mỗi bộ số $a_1,a_2,a_3$ tạo ra $3!$ hoán vị, và mỗi hoán vị đó lại được ghép với $3!$ hoán vị của bộ số $a_4,a_5,a_6$, vì vậy tổng cộng số các số tự nhiên gồm 6 chữ số thỏa mãn điều kiện đề bài là $3\cdot3!\cdot3!=108$ số.
Ta có $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=1+2+3+4+5+6=21$.
$\Rightarrow a_4+a_5+a_6=11$; $a_1+a_2+a_3=10$ (1). Vì $a_1,a_2,a_3\in\{1;2;3;4;5;6\}$ và các chữ số khác nhau nên hệ thức (1) chỉ có thể thỏa mãn ba khả năng sau:
$a_1=1,a_2=3,a_3=6$ và các hoán vị của ba số 1, 3, 6.
$a_1=1,a_2=4,a_3=5$ và các hoán vị của ba số 1, 4, 5.
$a_1=2,a_2=3,a_3=5$ và các hoán vị của ba số 2, 3, 5.
Mỗi bộ số $a_1,a_2,a_3$ tạo ra $3!$ hoán vị, và mỗi hoán vị đó lại được ghép với $3!$ hoán vị của bộ số $a_4,a_5,a_6$, vì vậy tổng cộng số các số tự nhiên gồm 6 chữ số thỏa mãn điều kiện đề bài là $3\cdot3!\cdot3!=108$ số.