Bài tự luận · Bài 10
Dạng 2. Xác định các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm (số trung bình – trung vị - tứ phân vị - mốt)
Bài tự luận Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm · Bài 10
(CD11) Khi thống kê tốc độ của 42 ô tô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đơn vị: $km/h$) ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng
Nhóm
Tần số
Tần số tích luỹ
$[40;45)$
5
5
$[45;50)$
10
15
$[50;55)$
7
22
$[55;60)$
9
31
$[60;65)$
7
38
$[65;70)$
4
42
$n=42$
a) Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
b) Xác định trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng (làm tròn các kết quả đến hàng phần mười).
c) Xác định mốt của mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Nhóm
Tần số
Tần số tích luỹ
$[40;45)$
5
5
$[45;50)$
10
15
$[50;55)$
7
22
$[55;60)$
9
31
$[60;65)$
7
38
$[65;70)$
4
42
$n=42$
a) Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
b) Xác định trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng (làm tròn các kết quả đến hàng phần mười).
c) Xác định mốt của mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Xem lời giải
Lời giải
a) Từ mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở Bảng, ta có bảng tần số ghép nhóm như ở Bảng sau:
Nhóm
Giá trị đại diện
Tần số
$[40;45)$
42,5
5
$[45;50)$
47,5
10
$[50;55)$
52,5
7
$[55;60)$
57,5
9
$[60;65)$
62,5
7
$[65;70)$
67,5
4
$n=42$
Bảng
Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:
$\bar{x}=\frac{5\cdot42,5+10\cdot47,5+7\cdot52,5+9\cdot57,5+7\cdot62,5+4\cdot67,5}{42}\approx54,3\,(km/h).$
b) Số phần tử của mẫu là $n=42$.
- Ta có: $\frac{n}{2}=\frac{42}{2}=21$ mà $15<21<22$. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 21.
Xét nhóm 3 là nhóm $[50;55)$ có $r=50,d=5,n_3=7$ và nhóm 2 là nhóm $[45;50)$ có $cf_2=15$.
Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là: $M_e=50+\left(\frac{21-15}{7}\right)\cdot5\approx54,3\,(km/h).$
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là: $Q_2=M_e\approx54,3\,(km/h)$.
- Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{42}{4}=10,5$ mà $5<10,5<15$ nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 10,5.
Xét nhóm 2 là nhóm $[45;50)$ có $s=45,h=5,n_2=10$ và nhóm 1 là nhóm $[40;45)$ có $cf_1=5$.
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:
$Q_1=45+\left(\frac{10,5-5}{10}\right)\cdot5\approx47,8\,(km/h).$
- Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot42}{4}=31,5$ mà $31<31,5<38$ nên nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 31,5.
Xét nhóm 5 là nhóm $[60;65)$ có $t=60,l=5,n_5=7$ và nhóm 4 là nhóm $[55;60)$ có $cf_4=31$.
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là:
$Q_3=60+\left(\frac{31,5-31}{7}\right)\cdot5\approx60,4\,(km/h).$
Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: $Q_1\approx47,8\,(km/h);Q_2\approx54,3\,(km/h);Q_3\approx60,4\,(km/h).$
c) Ta thấy: Nhóm 2 ứng với nửa khoảng $[45;50)$ là nhóm có tần số lớn nhất với $u=45;g=5,n_2=10$. Nhóm 1 có tần số $n_1=5$, nhóm 3 có tần số $n_3=7$.
Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là: $M_o=45+\left(\frac{10-5}{2\cdot10-5-7}\right)\cdot5\approx48,1\,(km/h).$
Nhóm
Giá trị đại diện
Tần số
$[40;45)$
42,5
5
$[45;50)$
47,5
10
$[50;55)$
52,5
7
$[55;60)$
57,5
9
$[60;65)$
62,5
7
$[65;70)$
67,5
4
$n=42$
Bảng
Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:
$\bar{x}=\frac{5\cdot42,5+10\cdot47,5+7\cdot52,5+9\cdot57,5+7\cdot62,5+4\cdot67,5}{42}\approx54,3\,(km/h).$
b) Số phần tử của mẫu là $n=42$.
- Ta có: $\frac{n}{2}=\frac{42}{2}=21$ mà $15<21<22$. Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 21.
Xét nhóm 3 là nhóm $[50;55)$ có $r=50,d=5,n_3=7$ và nhóm 2 là nhóm $[45;50)$ có $cf_2=15$.
Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là: $M_e=50+\left(\frac{21-15}{7}\right)\cdot5\approx54,3\,(km/h).$
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là: $Q_2=M_e\approx54,3\,(km/h)$.
- Ta có: $\frac{n}{4}=\frac{42}{4}=10,5$ mà $5<10,5<15$ nên nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 10,5.
Xét nhóm 2 là nhóm $[45;50)$ có $s=45,h=5,n_2=10$ và nhóm 1 là nhóm $[40;45)$ có $cf_1=5$.
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:
$Q_1=45+\left(\frac{10,5-5}{10}\right)\cdot5\approx47,8\,(km/h).$
- Ta có: $\frac{3n}{4}=\frac{3\cdot42}{4}=31,5$ mà $31<31,5<38$ nên nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng 31,5.
Xét nhóm 5 là nhóm $[60;65)$ có $t=60,l=5,n_5=7$ và nhóm 4 là nhóm $[55;60)$ có $cf_4=31$.
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là:
$Q_3=60+\left(\frac{31,5-31}{7}\right)\cdot5\approx60,4\,(km/h).$
Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là: $Q_1\approx47,8\,(km/h);Q_2\approx54,3\,(km/h);Q_3\approx60,4\,(km/h).$
c) Ta thấy: Nhóm 2 ứng với nửa khoảng $[45;50)$ là nhóm có tần số lớn nhất với $u=45;g=5,n_2=10$. Nhóm 1 có tần số $n_1=5$, nhóm 3 có tần số $n_3=7$.
Áp dụng công thức, ta có mốt của mẫu số liệu là: $M_o=45+\left(\frac{10-5}{2\cdot10-5-7}\right)\cdot5\approx48,1\,(km/h).$