Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích $800\text{ m}^2$. Nếu trồng đậu trên diện tích $100\text{ m}^2$ thì cần $20$ công làm và thu được $3\,000\,000$ đồng. Nếu trồng cà thì trên diện tích $100\text{ m}^2$ cần $30$ công làm và thu được $4\,000\,000$ đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công làm không quá $180$ công?

Ta giải bài toán quy hoạch tuyến tính này theo các bước sau: **Bước 1: Lập hệ bất phương trình ẩn định miền nghiệm** Gọi $x$ (đơn vị: $\text{m}^2$) là diện tích trồng đậu và $y$ (đơn vị: $\text{m}^2$) là diện tích trồng cà. Điều kiện: $x \ge 0, y \ge 0$. - Tổng diện tích đất sử dụng không quá $800\text{ m}^2$, ta có bất phương trình: $$x + y \le 800$$ - Tính số công làm việc trên mỗi mét vuông: + Trồng $1\text{ m}^2$ đậu cần: $\frac{20}{100} = 0,2$ công. + Trồng $1\text{ m}^2$ cà cần: $\frac{30}{100} = 0,3$ công. + Vì tổng số công không quá $180$ công nên ta có bất phương trình: $$0,2x + 0,3y \le 180 \iff 2x + 3y \le 1800$$ Từ đó, ta thu được hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn mô tả các giới hạn thực tế: $$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x + y \le 800 \\ 2x + 3y \le 1800 \end{cases}$$ **Bước 2: Xác định các đỉnh của miền nghiệm đa giác** Miền nghiệm của hệ trên là một miền đa giác tứ giác $OABC$ với các đỉnh có tọa độ tương ứng: - $O(0; 0)$ - $A(800; 0)$ (giao điểm của đường thẳng $x + y = 800$ với trục $Ox$) - $B(600; 200)$ (giao điểm của hai đường thẳng $x + y = 800$ và $2x + 3y = 1800$) - $C(0; 600)$ (giao điểm của đường thẳng $2x + 3y = 1800$ với trục $Oy$) **Bước 3: Tính số tiền thu được tại các đỉnh** Số tiền thu được (đơn vị: đồng) là $F(x,y) = 30\,000x + 40\,000y$, vì mỗi $1\text{ m}^2$ đậu cho $30\,000$ đồng và mỗi $1\text{ m}^2$ cà cho $40\,000$ đồng. - Tại $O(0; 0)$: $F = 0$. - Tại $A(800; 0)$: $F = 30\,000 \cdot 800 = 24\,000\,000$. - Tại $B(600; 200)$: $F = 30\,000 \cdot 600 + 40\,000 \cdot 200 = 26\,000\,000$. - Tại $C(0; 600)$: $F = 40\,000 \cdot 600 = 24\,000\,000$. Giá trị lớn nhất của $F$ đạt được tại $B(600; 200)$, tức là cần trồng $600\text{ m}^2$ đậu và $200\text{ m}^2$ cà thì thu được nhiều tiền nhất. Chọn đáp án A.