Một của hàng bán 3 loại táo nhập khẩu: Táo Envy, Táo New Zealand và Táo Fuji Nam Phi. Sau khi giảm giá mỗi loại lần lượt là $ x, y, z $nghìn đồng trên $ 1kg $thì số liệu tính toán được ghi lại bởi bảng sau: Biết rằng $ x+y+z=120 $(nghìn). Tính giá trị $ x $ để lợi nhuận bình quân của $ 1kg $táo bán được đạt được cao nhất.

Vì số lượng hoa quả bán được là $ 250+x+150+y+130+z=530+\left ( { x+y+z } \right )=650 $là cố định nên bình quân mỗi $ kg $táo có giá cao nhất khi số tiền thu được là cao nhất. Gọi $ P $ là tổng số tiền thu được. Khi đó $ P=\left ( { 250-x } \right )(200+x)+(200-y)(150+y)+(180-z)(130+z) $ $ =103400+50\left ( { x+y+z } \right )-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } -z ^ { 2 } $=$ 109400-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } -z ^ { 2 } $. Ta có bất đẳng thức: $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } ≥\frac { 1 } { 3 }\left ( { x+y+z } \right ) ^ { 2 } =4800 $. Do đó $ P≤104600 $. Vậy $ P $ lớn nhất $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} x+y+z=120 \\ x=y=z \end{array} \right. ⇔x=y=z=40 $(nghìn).