Bài tự luận Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 27

a) Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 40 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 40. Số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp là: $C_{40}^3=9880$.
b) Mỗi cách chọn 2 học sinh nam trong 24 học sinh nam là một tổ hợp chập 2 của 24. Số cách chọn 2 học sinh nam trong 24 học sinh nam là: $C_{24}^2=276$.
Mỗi cách chọn 1 học sinh nữ trong 16 học sinh nữ là một tổ hợp chập 1 của $16$.
Số cách chọn 1 học sinh nữ trong 16 học sinh nữ là: $C_{16}^1=16$.
Vậy số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp sao cho trong đó có 2 học sinh nam là: $276\cdot16=4416$.
c) Cách 1:
Để ban cán sự lớp có ít nhất 1 học sinh nam thì xảy ra các trường hợp:
Trường hợp 1:
Chọn 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ có $C_{24}^1\cdot C_{16}^2=24\cdot120=2880$ (cách chọn).
Trường hợp 2:
Chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ có $C_{24}^2\cdot C_{16}^1=276\cdot16=4416$ (cách chọn).
Trường hợp 3:
Chọn 3 học sinh nam có $C_{24}^3=2024$ (cách chọn).
Vậy số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp sao cho trong đó có ít nhất 1 học sinh nam là:
$2880+4416+2024=9320$.
Cách 2:
Số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp là: $C_{40}^3=9880$.
Số cách chọn 3 học sinh nữ làm ban cán sự của lớp là: $C_{16}^3=560$.
Vậy số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp sao cho trong đó có ít nhất 1 học sinh nam là: $9880-560=9320$.