Bài tự luận Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 26

a) Từ KHIÊNG có 6 chữ cái khác nhau. Do đó, số cách sắp xếp 6 chữ cái khác nhau theo yêu cầu là: $6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720$ (cách).
b) Từ "KHIÊNG" có 4 phụ âm là K, H, N và G. Việc sắp xếp 6 chữ cái thoả mãn yêu cầu có thể được thực hiện qua hai công đoạn:
- Công đoạn 1: chọn 2 trong số 4 phụ âm để xếp vào hai vị trí đầu tiên;
- Công đoạn 2: xếp $6-2=4$ chữ cái còn lại vào 4 vị trí tiếp theo.
Số các cách chọn ra 2 trong 4 phụ âm để xếp vào hai vị trí đầu tiên là: $A_4^2=4\cdot3=12$ (cách).
Số các cách xếp 4 chữ cái còn lại vào 4 vị trí tiếp theo là: $P_4=4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ (cách).
Theo quy tắc nhân, số cách sắp xếp cần tìm là: $12\cdot24=288$ (cách).
c) Có 4 phụ âm trong từ KHIÊNG và ta yêu cầu chúng phải đứng liên tiếp nhau, do đó có ba phương án cho vị trí của các phụ âm:
- Phương án 1: vị trí các phụ âm (từ trái qua phải) là 1, 2, 3, 4;
- Phương án 2: vị trí các phụ âm (từ trái qua phải) là 2, 3, 4, 5;
- Phương án 3: vị trí các phụ âm (từ trái qua phải) là 3, 4, 5, 6.
Đối với phương án 1, việc xếp các chữ cái được thực hiện qua hai công đoạn:
- Công đoạn 1: xếp 4 phụ âm vào các vị trí 1, 2, 3, 4;
- Công đoạn 2: xếp 2 nguyên âm vào 2 vị trí còn lại.
Số các cách xếp 4 phụ âm vào 4 vị trí là: $4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ (cách).
Số các cách xếp 2 nguyên âm vào 2 vị trí còn lại là: $2!=2\cdot1=2$ (cách).
Vậy, theo quy tắc nhân thì số cách xếp theo phương án 1 là: $24\cdot2=48$ (cách).
Tương tự, mỗi phương án 2 và 3 có 48 cách sắp xếp. Vì thế, theo quy tắc cộng thì số cách xếp thoả mãn là: $48+48+48=144$ (cách).