Cho tứ diện $ ABCD $ có $ CD=6 $. Gọi $ I,\,J $ lần lượt là trung điểm của $ AD $ và $ AC $, $ G $ là trọng tâm của tam giác $ BCD $. Biết $ \left ( { GIJ } \right ) $ cắt $ BC $, $ BD $ lần lượt tại $ M $và $ N $. Khi đó $ \frac { BM } { BC }=\frac { a } { b } $ với $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản, $ a,\,b∈\mathbb{Z};\,b≠0 $. Tính $ a+b $.

Ta có $ IJ $ là đường trung bình của $ ΔACD $ nên $ IJ{ \rm{ // } }CD $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} G∈\left ( { GIJ } \right )∩\left ( { BCD } \right ) \\ IJ{ \rm{ // } }CD \\ IJ⊂\left ( { GIJ } \right ),CD⊂\left ( { BCD } \right ) \end{array} \right.⇒Gx=\left ( { GIJ } \right )∩\left ( { BCD } \right ) $. Trong đó $ Gx $ là đường thẳng qua $ G $ và $ Gx{ \rm{ // } }IJ{ \rm{ // } }CD $. Trong mặt phẳng $ \left ( { BCD } \right ) $, kẻ $ Gx $ song song $ CD $ cắt $ BC $ tại $ M $, cắt $ BD $ tại $ N $. Gọi $ E $ là trung điểm của $ CD $ suy ra $ GM{ \rm{ // } }CE $. Theo định lý Thales ta có $ \frac { BM } { BC }=\frac { BG } { BE }=\frac { 2 } { 3 } $. Vậy $ a+b=2+3=5 $.