Ông An có một mảnh đất hình vuông $ ABCD $ có cạnh $ AB=12m $. Ông làm một hồ bơi dạng hình thang cong (phần tô đậm) và một lối đi là đoạn thẳng $ HB $. Nếu đặt hệ trục toạ độ có gốc tại $ A $ như hình vẽ, độ dài đơn vị là $ 1m $, thì đường cong $ EFIG $ là một phần đồ thị của một hàm số bậc ba $ y=f\left ( { x } \right ) $ có $ F $ là điểm cực tiểu và $ I $ là điểm cực đại. Biết $ CH=DE=GB=3m $ và các điểm $ F,I $ cách cạnh $ AD $ lần lượt là $ 2m $ và $ 6m $.

a) Đúng Gọi phương trình đường thẳng $ HB $ là $ y=ax+b\ \left ( { a\neq 0 } \right ) $ Đường thẳng $ HB $ đi qua hai điểm $ B\left ( { 12;0 } \right ) $ và $ H\left ( { 9;12 } \right ) $ nên ta có hệ phương trình $ \left \{ \begin{array}{l} 0=12a+b \\ 12=9a+b \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=-4 \\ b=48 \end{array} \right. $. Vậy phương trình đường thẳng $ HB $ là $ y=-4x+48 $. b) Sai Các điểm $ F,I $ cách cạnh $ AD $ lần lượt là $ 2m $ và $ 6m $ nên $ x_{ F } =2,\ x_{ I } =6 $. Mặt khác $ F $ là điểm cực tiểu và $ I $ là điểm cực đại của đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ nên tồn tại $ a\in \mathbb{R} $ sao cho $ f'\left ( { x } \right )=a\left ( { x-2 } \right )\left ( { x-6 } \right ) $. c) Sai Ta có: $ f'\left ( { x } \right )=a\left ( { x-2 } \right )\left ( { x-6 } \right )=a\left ( { x ^ { 2 } -8x+12 } \right ) ⇒f\left ( { x } \right )=a\left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }-4x ^ { 2 } +12x } \right )+C $. Mặt khác: $ \left \{ \begin{array}{l} f\left ( { 0 } \right )=9 \\ f\left ( { 9 } \right )=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a\left ( { \frac { 0 ^ { 3 } } { 3 }-4.0 ^ { 2 } +12.0 } \right )+C=9 \\ a\left ( { \frac { 9 ^ { 3 } } { 3 }-4.9 ^ { 2 } +12.9 } \right )+C=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=-\frac { 1 } { 3 } \\ C=9 \end{array} \right. $. Suy ra $ f\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { 9 }x ^ { 3 } +\frac { 4 } { 3 }x ^ { 2 } -4x+9 $ $ f'\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { 3 }x ^ { 2 } +\frac { 8 } { 3 }x-4 $ Do $ k=f'\left ( { 7 } \right )=-\frac { 5 } { 3 }\neq -4 $ nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ tại điểm có hoành độ bằng 7 không song song với đường thẳng $ HB $. d) Đúng Gọi $ Δ $ là tiếp tuyến của hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ tại điểm $ M\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } } \right ) $. Để $ d\left ( { M,HB } \right ) $ ngắn nhất thì $ Δ $ song song $ HB $. Suy ra $ k_{ Δ } =f'\left ( { x_{ 0 } } \right )=-4⇔-\frac { 1 } { 3 }x_{ 0 } ^ { 2 } +\frac { 8 } { 3 }x_{ 0 } -4=-4 $$ ⇔-\frac { 1 } { 3 }x_{ 0 } ^ { 2 } +\frac { 8 } { 3 }x_{ 0 } =0⇔\left[\begin{array}{l} x_{ 0 } =0\ (L) \\ x_{ 0 } =8 \end{array}\right. $ Khi đó $ M\left ( { 8;\frac { 49 } { 9 } } \right ),\ HB:4x+y-48=0 $ Vậy $ d\left ( { M,HB } \right )=\frac { \left | { 4.8+\frac { 49 } { 9 }-48 } \right | } { \sqrt[] { 4 ^ { 2 } +(-1) ^ { 2 } } }≈2,56 $.