Cho tam giác $ ABC $. Gọi điểm $ I $ thuộc cạnh $ AC $ thỏa mãn $ IC=\frac { 1 } { 4 }AC $, điểm $ K $thỏa mãn $ 2\overset\rightarrow { KB }+3\overset\rightarrow { KC }=\overset\rightarrow { 0 } $; $ J $ là giao điểm của $ AK $ và $ BI $.

a) Đúng Có $ 2\overset\rightarrow { KB }+3\overset\rightarrow { KC }=\overset\rightarrow { 0 }⇔2\overset\rightarrow { KB }+3\left ( { \overset\rightarrow { KB }+\overset\rightarrow { BC } } \right )=\overset\rightarrow { 0 }⇔5\overset\rightarrow { KB }+3\overset\rightarrow { BC }=\overset\rightarrow { 0 }⇔\overset\rightarrow { BK }=\frac { 3 } { 5 }\overset\rightarrow { BC } $. Suy ra $ K $ thuộc cạnh $ BC $ và $ BK=\frac { 3 } { 5 }BC $. b) Đúng. $ \overset\rightarrow { AK }=\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { BK }=\overset\rightarrow { AB }+\frac { 3 } { 5 }\overset\rightarrow { BC }=\overset\rightarrow { AB }+\frac { 3 } { 5 }\left ( { \overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AB } } \right )=\frac { 2 } { 5 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 3 } { 5 }\overset\rightarrow { AC } $. c) Sai. $ \overset\rightarrow { BI }=\overset\rightarrow { BA }+\overset\rightarrow { AI }=\overset\rightarrow { BA }+\frac { 3 } { 4 }\overset\rightarrow { AC }=\overset\rightarrow { BA }+\frac { 3 } { 4 }\left ( { \overset\rightarrow { BC }-\overset\rightarrow { BA } } \right )=\frac { 1 } { 4 }\overset\rightarrow { BA }+\frac { 3 } { 4 }\overset\rightarrow { BC } $. Do hai vectơ $ \overset\rightarrow { BA },\overset\rightarrow { BC } $ không cùng phương nên đồng nhất hệ số ta được $ a=\frac { 1 } { 4 },b=\frac { 3 } { 4 } $. $ ⇒b-a=\frac { 1 } { 2 } $. d) Đúng. $ \overset\rightarrow { BI }=\frac { 1 } { 4 }\overset\rightarrow { BA }+\frac { 3 } { 4 }\overset\rightarrow { BC } $. Gọi $ \overset\rightarrow { AJ }=x\overset\rightarrow { AK } $, $ \left ( { 0 < x < 1 } \right ) $. Có $ \overset\rightarrow { BJ }=\overset\rightarrow { BA }+\overset\rightarrow { AJ }=\overset\rightarrow { BA }+x\overset\rightarrow { AK }=\overset\rightarrow { BA }+x\left ( { \overset\rightarrow { BK }-\overset\rightarrow { BA } } \right )=\left ( { 1-x } \right )\overset\rightarrow { BA }+x\overset\rightarrow { BK }=\left ( { 1-x } \right )\overset\rightarrow { BA }+\frac { 3x } { 5 }\overset\rightarrow { BC } $. Do 3 điểm $ B,J,I $ thẳng hàng nên $ \overset\rightarrow { BI } $ cùng phương với $ \overset\rightarrow { BJ } $. Suy ra $ \frac { 1-x } { \frac { 1 } { 4 } }=\frac { \frac { 3x } { 5 } } { \frac { 3 } { 4 } }⇔x=\frac { 5 } { 6 } $. Để ba đường thẳng $ AK,BI,CM $ đồng quy thì ba điểm $ M,J,C $ thẳng hàng, nghĩa là $ \overset\rightarrow { CM } $ cùng phương với $ \overset\rightarrow { CJ } $. Gọi $ \overset\rightarrow { AM }=t.\overset\rightarrow { AB },0 < t < 1 $. Có $ \overset\rightarrow { CM }=\overset\rightarrow { CA }+\overset\rightarrow { AM }=\overset\rightarrow { CA }+t.\overset\rightarrow { AB }=\overset\rightarrow { CA }+t.\left ( { \overset\rightarrow { CB }-\overset\rightarrow { CA } } \right )=\left ( { 1-t } \right )\overset\rightarrow { CA }+t\overset\rightarrow { CB } $. Lại có $ \overset\rightarrow { CJ }=\overset\rightarrow { CA }+\overset\rightarrow { AJ }=\overset\rightarrow { CA }+\frac { 5 } { 6 }\overset\rightarrow { AK }=\overset\rightarrow { CA }+\frac { 5 } { 6 }\left ( { \overset\rightarrow { CK }-\overset\rightarrow { CA } } \right )=\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { CA }+\frac { 5 } { 6 }\overset\rightarrow { CK }=\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { CA }+\frac { 5 } { 6 }.\frac { 2 } { 5 }\overset\rightarrow { CB }=\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { CA }+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { CB } $. Từ đó ta có $ \frac { 1-t } { \frac { 1 } { 6 } }=\frac { t } { \frac { 1 } { 3 } }⇔t=\frac { 2 } { 3 } $. $ ⇒\overset\rightarrow { AM }=\frac { 2 } { 3 }.\overset\rightarrow { AB }⇔\overset\rightarrow { MA }=\frac { -2 } { 3 }.\overset\rightarrow { AB }⇒\left \{ \begin{array}{l} m=-2 \\ n=3 \end{array} \right.⇒m+4n=10 $.