(THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2025) Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\frac { ax+b } { cx+d } $ với $ a,b,c,d\in \mathbb{R} $ và $ c\neq 0 $ có đồ thị hàm số $ y=f'\left ( { x } \right ) $ nhận đường thẳng $ x=-1 $ làm tiệm cận đứng như hình vẽ dưới. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ trên đoạn $ \left[ -3;-2 \right] $ bằng 8.

Tập xác định: $ D=\mathbb{R}\setminus\left\{-\frac { d } { c }\right\}. $ Ta có $ f'\left ( { x } \right )=\frac { ad-bc } { \left ( { cx+d } \right ) ^ { 2 } }. $ Đồ thị hàm số $ y=f'\left ( { x } \right ) $ nhận đường thẳng $ x=-1 $ làm tiệm cận đứng nên $ c=d\neq 0. $ Hơn nữa, $ f'\left ( { x } \right ) $ nằm hoàn toàn trên trục hoành nên hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ đồng biến trên các khoảng xác định và $ f'\left ( { 0 } \right )=3 $ nên $ \left \{ \begin{array}{l} \mathop { \max } \limits_{ \left[ \begin{array}{l} -3;-2 \right] } f\left ( { x } \right )=f\left ( { -2 } \right )=8 \\ \frac { ad-bc } { d ^ { 2 } }=3 \end{array} \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} \frac { 2a-b } { d }=8 \\ \left ( { a-b } \right )d=3d ^ { 2 } \end{array} \right.\left ( { c=d } \right )⇔\left \{ \begin{array}{l} 2a-b=8d \\ \left[ \begin{array}{l} d=0\,(loại) \\ a-b=3d \end{array} \right. \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=5d \\ b=2d \end{array} \right.. $ Chọn $ d=1⇒a=5,b=2. $ Khi đó $ f\left ( { x } \right )=\frac { 5x+2 } { x+1 }⇒f'\left ( { x } \right )=\frac { 3 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }. $ a) Đúng. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ trên đoạn $ \left[ 2;4 \right] $ bằng 4. Hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ đồng biến trên $ \left[ 2;4 \right] $ nên $ \mathop { \min } \limits_{ \left[ 2;4 \right] } f\left ( { x } \right )=f\left ( { 2 } \right )=4. $ b) Sai. $ f\left ( { -3 } \right )=\frac { 5.\left ( { -3 } \right )+2 } { -3+2 }=\frac { 13 } { 2 }. $ c) Sai. Hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ đồng biến trên khoảng $ \left ( { -1;+\infty } \right ). $ d) Đúng. Đồ thị hàm số $ y=f'\left ( { x } \right ) $ nhận đường thẳng $ y=0 $ làm tiệm cận ngang. Ta có $ \lim_{ x\to +\infty } f'\left ( { x } \right )=\lim_{ x\to +\infty } \frac { 3 } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }=0⇒y=0 $ là TCN của đồ thị hàm số $ y=f'\left ( { x } \right ) $.