Bài tự luận · Bài 28
Dạng 2. Xác định các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm (số trung bình – trung vị - tứ phân vị - mốt)
Bài tự luận Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm · Bài 28
(CTST11) Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình trong một khu vực tiêu thụ trong một tháng ở bảng sau:
Lượng nước tiêu thụ $(m^3)$
$[3;6)$
$[6;9)$
$[9;12)$
$[12;15)$
$[15;18)$
Số hộ gia đình
24
57
42
29
8
a) Hãy ước lượng số trung bình, mốt và trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Công ty muốn gửi một thông báo khuyến nghị tiết kiệm nước đến $25\%$ các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất. Hỏi công ty nên gửi đến các hộ tiêu thụ từ bao nhiêu mét khối nước trở lên?
Lượng nước tiêu thụ $(m^3)$
$[3;6)$
$[6;9)$
$[9;12)$
$[12;15)$
$[15;18)$
Số hộ gia đình
24
57
42
29
8
a) Hãy ước lượng số trung bình, mốt và trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Công ty muốn gửi một thông báo khuyến nghị tiết kiệm nước đến $25\%$ các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất. Hỏi công ty nên gửi đến các hộ tiêu thụ từ bao nhiêu mét khối nước trở lên?
Xem lời giải
Lời giải
a) Cỡ mẫu $n=160$.
Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên như sau:
Lượng nước tiêu thụ $(m^3)$
$[3;6)$
$[6;9)$
$[9;12)$
$[12;15)$
$[15;18)$
Giá trị đại diện
4,5
7,5
10,5
13,5
16,5
Số hộ gia đình
24
57
42
29
8
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là
$\bar{x}=\frac{1}{160}(24\cdot4,5+57\cdot7,5+42\cdot10,5+29\cdot13,5+8\cdot16,5)=9,375$.
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là nhóm $[6;9)$.
Do đó: $u_m=6;n_m=57;n_{m-1}=24;n_{m+1}=42;u_{m+1}=9$.
Mốt của mẫu số liệu là $M_o=6+\frac{57-24}{(57-24)+(57-42)}\cdot(9-6)=8,0625$.
Gọi $x_1;x_2;\ldots;x_{160}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: $x_1,\ldots,x_{24}\in[3;6);x_{25},\ldots,x_{81}\in[6;9);x_{82},\ldots,x_{123}\in[9;12)$; $x_{124},\ldots,x_{152}\in[12;15);x_{153},\ldots,x_{160}\in[15;18)$.
Cỡ mẫu $n=160$ là số chẵn nên trung vị là $M_e=\frac{1}{2}(x_{80}+x_{81})$.
Do $x_{80}$ và $x_{81}$ thuộc nhóm $[6;9)$ nên trung vị của mẫu số liệu là $M_e=6+\frac{\frac{160}{2}-24}{57}\cdot(9-6)\approx8,95$.
b) $25\%$ các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất có lượng nước tiêu thụ không nhỏ hơn $Q_3$, với $Q_3$ là tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu.
Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu $x_1;x_2;\ldots;x_{160}$ là $\frac{1}{2}(x_{120}+x_{121})$. Do $x_{120}$ và $x_{121}$ thuộc nhóm $[9;12)$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $Q_3=9+\frac{\frac{160\cdot3}{4}-(24+57)}{42}\cdot(12-9)\approx11,79$.
Vậy công ty nên gửi thông báo tiết kiệm nước đến các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ từ $11,79$ m³ nước trở lên.
Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên như sau:
Lượng nước tiêu thụ $(m^3)$
$[3;6)$
$[6;9)$
$[9;12)$
$[12;15)$
$[15;18)$
Giá trị đại diện
4,5
7,5
10,5
13,5
16,5
Số hộ gia đình
24
57
42
29
8
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là
$\bar{x}=\frac{1}{160}(24\cdot4,5+57\cdot7,5+42\cdot10,5+29\cdot13,5+8\cdot16,5)=9,375$.
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là nhóm $[6;9)$.
Do đó: $u_m=6;n_m=57;n_{m-1}=24;n_{m+1}=42;u_{m+1}=9$.
Mốt của mẫu số liệu là $M_o=6+\frac{57-24}{(57-24)+(57-42)}\cdot(9-6)=8,0625$.
Gọi $x_1;x_2;\ldots;x_{160}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: $x_1,\ldots,x_{24}\in[3;6);x_{25},\ldots,x_{81}\in[6;9);x_{82},\ldots,x_{123}\in[9;12)$; $x_{124},\ldots,x_{152}\in[12;15);x_{153},\ldots,x_{160}\in[15;18)$.
Cỡ mẫu $n=160$ là số chẵn nên trung vị là $M_e=\frac{1}{2}(x_{80}+x_{81})$.
Do $x_{80}$ và $x_{81}$ thuộc nhóm $[6;9)$ nên trung vị của mẫu số liệu là $M_e=6+\frac{\frac{160}{2}-24}{57}\cdot(9-6)\approx8,95$.
b) $25\%$ các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất có lượng nước tiêu thụ không nhỏ hơn $Q_3$, với $Q_3$ là tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu.
Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu $x_1;x_2;\ldots;x_{160}$ là $\frac{1}{2}(x_{120}+x_{121})$. Do $x_{120}$ và $x_{121}$ thuộc nhóm $[9;12)$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $Q_3=9+\frac{\frac{160\cdot3}{4}-(24+57)}{42}\cdot(12-9)\approx11,79$.
Vậy công ty nên gửi thông báo tiết kiệm nước đến các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ từ $11,79$ m³ nước trở lên.