Bài tự luận · Bài 29
Dạng 2. Xác định các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm (số trung bình – trung vị - tứ phân vị - mốt)
Bài tự luận Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm · Bài 29
(CTST11) Bảng sau thống kê khối lượng một số quả măng cụt được lựa chọn ngẫu nhiên trong một thùng hàng.
Khối lượng (gam)
$[80;82)$
$[82;84)$
$[84;86)$
$[86;88)$
$[88;90)$
Số quả
18
20
24
15
13
a) Hãy ước lượng số trung bình, mốt và trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Người ta muốn chia măng cụt trong thùng ra làm ba loại theo cân nặng, bao gồm: loại nhỏ, loại vừa và loại to. Các loại này lần lượt chiếm khoảng $25\%,50\%$ và $25\%$ số măng cụt trong thùng. Hãy xác định ngưỡng cân nặng để phân loại quả.
Khối lượng (gam)
$[80;82)$
$[82;84)$
$[84;86)$
$[86;88)$
$[88;90)$
Số quả
18
20
24
15
13
a) Hãy ước lượng số trung bình, mốt và trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Người ta muốn chia măng cụt trong thùng ra làm ba loại theo cân nặng, bao gồm: loại nhỏ, loại vừa và loại to. Các loại này lần lượt chiếm khoảng $25\%,50\%$ và $25\%$ số măng cụt trong thùng. Hãy xác định ngưỡng cân nặng để phân loại quả.
Xem lời giải
Lời giải
a) Cỡ mẫu $n=90$.
Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên như sau:
Khối lượng (gam)
$[80;82)$
$[82;84)$
$[84;86)$
$[86;88)$
$[88;90)$
Khối lượng đại diện
81
83
85
87
89
Số quả
18
20
24
15
13
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
$\bar{x}=\frac{1}{90}(18\cdot81+20\cdot83+24\cdot85+15\cdot87+13\cdot89)=\frac{254}{3}\approx84,67$.
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm $[84;86)$.
Do đó: $u_m=84;n_m=24;n_{m-1}=20;n_{m+1}=15;u_{m+1}=86$.
Mốt của mẫu số liệu là $M_o=84+\frac{24-20}{(24-20)+(24-15)}\cdot(86-84)\approx84,62$.
Gọi $x_1;x_2;\ldots;x_{90}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: $x_1,\ldots,x_{18}\in[80;82);x_{19},\ldots,x_{38}\in[82;84);x_{39},\ldots,x_{62}\in[84;86)$;
$x_{63},\ldots,x_{77}\in[86;88);x_{78},\ldots,x_{90}\in[88;90)$.
Cỡ mẫu $n=90$ là số chẵn nên trung vị là $M_e=\frac{1}{2}(x_{45}+x_{46})$.
Do $x_{45}$ và $x_{46}$ thuộc nhóm $[84;86)$ nên trung vị của mẫu số liệu là
$M_e=84+\frac{\frac{90}{2}-(18+20)}{24}\cdot(86-84)\approx84,58$.
b) Gọi $Q_1,Q_3$ lần lượt là tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của mẫu số liệu. Theo đề bài, ta có:
Măng cụt loại nhỏ có cân nặng nhỏ hơn $Q_1$.
Măng cụt loại vừa có cân nặng trong $[Q_1;Q_3)$.
Măng cụt loại to có cân nặng không nhỏ hơn $Q_3$.
Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu $x_1;x_2;\ldots;x_{90}$ là $x_{23}\in[82;84)$. Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu $x_1;x_2;\ldots;x_{90}$ là $x_{68}\in[86;88)$.
Do đó, tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=82+\frac{\frac{90}{4}-18}{20}\cdot(84-82)=82,45$;
tứ phân vị thứ ba là $Q_3=86+\frac{\frac{90\cdot3}{4}-(18+20+24)}{15}\cdot(88-86)\approx86,73$.
Vậy măng cụt loại nhỏ có khối lượng (tính theo gam) thuộc $[80;82,45)$.
Măng cụt loại vừa có khối lượng (tính theo gam) thuộc $[82,45;86,73)$.
Măng cụt loại to có khối lượng (tính theo gam) thuộc $[86,73;90)$.
Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên như sau:
Khối lượng (gam)
$[80;82)$
$[82;84)$
$[84;86)$
$[86;88)$
$[88;90)$
Khối lượng đại diện
81
83
85
87
89
Số quả
18
20
24
15
13
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
$\bar{x}=\frac{1}{90}(18\cdot81+20\cdot83+24\cdot85+15\cdot87+13\cdot89)=\frac{254}{3}\approx84,67$.
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm $[84;86)$.
Do đó: $u_m=84;n_m=24;n_{m-1}=20;n_{m+1}=15;u_{m+1}=86$.
Mốt của mẫu số liệu là $M_o=84+\frac{24-20}{(24-20)+(24-15)}\cdot(86-84)\approx84,62$.
Gọi $x_1;x_2;\ldots;x_{90}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: $x_1,\ldots,x_{18}\in[80;82);x_{19},\ldots,x_{38}\in[82;84);x_{39},\ldots,x_{62}\in[84;86)$;
$x_{63},\ldots,x_{77}\in[86;88);x_{78},\ldots,x_{90}\in[88;90)$.
Cỡ mẫu $n=90$ là số chẵn nên trung vị là $M_e=\frac{1}{2}(x_{45}+x_{46})$.
Do $x_{45}$ và $x_{46}$ thuộc nhóm $[84;86)$ nên trung vị của mẫu số liệu là
$M_e=84+\frac{\frac{90}{2}-(18+20)}{24}\cdot(86-84)\approx84,58$.
b) Gọi $Q_1,Q_3$ lần lượt là tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của mẫu số liệu. Theo đề bài, ta có:
Măng cụt loại nhỏ có cân nặng nhỏ hơn $Q_1$.
Măng cụt loại vừa có cân nặng trong $[Q_1;Q_3)$.
Măng cụt loại to có cân nặng không nhỏ hơn $Q_3$.
Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu $x_1;x_2;\ldots;x_{90}$ là $x_{23}\in[82;84)$. Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu $x_1;x_2;\ldots;x_{90}$ là $x_{68}\in[86;88)$.
Do đó, tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=82+\frac{\frac{90}{4}-18}{20}\cdot(84-82)=82,45$;
tứ phân vị thứ ba là $Q_3=86+\frac{\frac{90\cdot3}{4}-(18+20+24)}{15}\cdot(88-86)\approx86,73$.
Vậy măng cụt loại nhỏ có khối lượng (tính theo gam) thuộc $[80;82,45)$.
Măng cụt loại vừa có khối lượng (tính theo gam) thuộc $[82,45;86,73)$.
Măng cụt loại to có khối lượng (tính theo gam) thuộc $[86,73;90)$.