Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt[3]{2x+1}-\sqrt{x+1}}{x} & \text{khi } x>0 \\ x+m+2 & \text{khi } x \leq 0 \end{cases}$. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để hàm số liên tục tại $x_{0}=0$.

Lời giải $$ \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt[3]{2x+1}-\sqrt{x+1}}{x} $$ $$ = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt[3]{2x+1}-1 + 1-\sqrt{x+1}}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{2x}{x(\sqrt[3]{(2x+1)^{2}}+\sqrt[3]{2x+1}+1)} + \lim_{x \to 0^{+}} \frac{-x}{x(1+\sqrt{x+1})} $$ $$ = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} $$ $f(0) = m+2$. Hàm số liên tục tại $x=0$ khi $m+2 = \frac{1}{6} \Leftrightarrow m = -\frac{11}{6}$. Có 1 giá trị.