Bài tập nâng cao · Bài 20
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 20
Từ các chữ số $0;1;2;3;4;5;6;7$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau sao cho mỗi số đó đều chia hết cho 18.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $X=\{0;1;2;3;4;5;6;7\}$.
Giả sử số lập được có dạng $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}$, $a_1\neq0$, $a_i\neq a_j$ với $i\neq j$, $i,j\in\{1;2;3;4;5;6\}$.
Ta có $18\mid\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}9\mid\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}\\2\mid\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}9\mid(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6)\\2\mid a_6\end{array}\right.$.
Vì $9\mid(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6)$ nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ được chọn từ $X_1=\{2;3;4;5;6;7\}$.
Có 3 cách chọn $a_6$.
Có $5!$ cách chọn bộ 5 số $(a_1;a_2;a_3;a_4;a_5)$.
Suy ra có $3\cdot5!=360$ số.
Trường hợp 2: $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ được chọn từ $X_2=\{0;1;2;4;5;6\}$.
$a_6=0$, có $5!$ cách chọn bộ 5 số $(a_1;a_2;a_3;a_4;a_5)$.
$a_6\neq0$, khi đó $a_6$ có 3 cách chọn, $a_1$ có 4 cách chọn và có $4!$ cách chọn bộ 4 số $(a_2;a_3;a_4;a_5)$. Suy ra có $5!+3\cdot4\cdot4!=408$ số.
Trường hợp 3: $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ được chọn từ $X_3=\{0;1;2;3;5;7\}$.
$a_6=0$, có $5!$ cách chọn bộ 5 số $(a_1;a_2;a_3;a_4;a_5)$.
$a_6\neq0$, khi đó $a_6$ có 1 cách chọn, $a_1$ có 4 cách chọn và có $4!$ cách chọn bộ 4 số $(a_2;a_3;a_4;a_5)$.
Suy ra có $5!+1\cdot4\cdot4!=216$ số.
Vậy có $360+408+216=984$ số.
Giả sử số lập được có dạng $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}$, $a_1\neq0$, $a_i\neq a_j$ với $i\neq j$, $i,j\in\{1;2;3;4;5;6\}$.
Ta có $18\mid\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}9\mid\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}\\2\mid\overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6}\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}9\mid(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6)\\2\mid a_6\end{array}\right.$.
Vì $9\mid(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6)$ nên ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ được chọn từ $X_1=\{2;3;4;5;6;7\}$.
Có 3 cách chọn $a_6$.
Có $5!$ cách chọn bộ 5 số $(a_1;a_2;a_3;a_4;a_5)$.
Suy ra có $3\cdot5!=360$ số.
Trường hợp 2: $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ được chọn từ $X_2=\{0;1;2;4;5;6\}$.
$a_6=0$, có $5!$ cách chọn bộ 5 số $(a_1;a_2;a_3;a_4;a_5)$.
$a_6\neq0$, khi đó $a_6$ có 3 cách chọn, $a_1$ có 4 cách chọn và có $4!$ cách chọn bộ 4 số $(a_2;a_3;a_4;a_5)$. Suy ra có $5!+3\cdot4\cdot4!=408$ số.
Trường hợp 3: $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ được chọn từ $X_3=\{0;1;2;3;5;7\}$.
$a_6=0$, có $5!$ cách chọn bộ 5 số $(a_1;a_2;a_3;a_4;a_5)$.
$a_6\neq0$, khi đó $a_6$ có 1 cách chọn, $a_1$ có 4 cách chọn và có $4!$ cách chọn bộ 4 số $(a_2;a_3;a_4;a_5)$.
Suy ra có $5!+1\cdot4\cdot4!=216$ số.
Vậy có $360+408+216=984$ số.