Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai

Đa thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ với $a, b, c$ là các hệ số, $a \neq 0$ và $x$ là biến số được gọi là tam thức bậc hai.
Khi đó ta gọi:
- Nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ là nghiệm của $f(x)$.
- Biểu thức $\Delta = b^2 - 4ac$ và $\Delta' = \left( \frac{b}{2} \right)^2 - ac$ là biệt thức và biệt thức thu gọn của $f(x)$.
Khi thay $x$ bằng giá trị $x_0$ vào $f(x_0)$, ta được $f(x_0) = ax_0^2 + bx_0 + c$, gọi là giá trị của tam thức bậc hai tại $x_0$.
- Nếu $f(x_0) > 0$ thì ta nói $f(x)$ dương tại $x_0$;
- Nếu $f(x_0) < 0$ thì ta nói $f(x)$ âm tại $x_0$;
- Nếu $f(x)$ dương (âm) tại mọi điểm $x$ thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói $f(x)$ dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.

Trường hợp $a > 0$:
- $\Delta < 0$ ($\Delta' < 0$):

- $\Delta = 0$ ($\Delta' = 0$):

- $\Delta > 0$ ($\Delta' > 0$):

Trường hợp $a < 0$:
- $\Delta < 0$ ($\Delta' < 0$):

- $\Delta = 0$ ($\Delta' = 0$):

- $\Delta > 0$ ($\Delta' > 0$):

- $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a > 0$ và $\Delta < 0$.
- $f(x) \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a > 0$ và $\Delta \leq 0$.
- $f(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a < 0$ và $\Delta < 0$.
- $f(x) \leq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a < 0$ và $\Delta \leq 0$.
- $f(x)$ không đổi dấu trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\Delta < 0$.

Bất phương trình bậc hai ẩn $x$ là bất phương trình có một trong các dạng sau: $ax^2 + bx + c < 0; ax^2 + bx + c \leq 0; ax^2 + bx + c > 0; ax^2 + bx + c \geq 0,$
trong đó $a, b, c$ là các số thực đã cho, $a \neq 0$.

Giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng $f(x) > 0$ $\left( f(x) = ax^2 + bx + c \right)$:
Cách 1. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai
Bước 1: Xác định dấu của hệ số $a$ và tìm nghiệm của $f(x)$ (nếu có).
Bước 2: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị của $x$ sao cho $f(x)$ mang dấu "+".
Cách 2. Sử dụng đồ thị
Dựa vào parabol $y = ax^2 + bx + c$, ta tìm tập hợp những giá trị của $x$ ứng với phần parabol đó nằm phía trên trục hoành.
Chú ý: Các bất phương trình bậc hai có dạng $f(x) < 0, f(x) \geq 0, f(x) \leq 0$ được giải bằng cách tương tự.