Lý thuyết Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$. Mỗi nghiệm chung của tất cả các bất phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, tập hợp các điểm $(x_0;y_0)$ có toạ độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, ta thực hiện như sau:
- Trên cùng mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.
- Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Chú ý: Miền mặt phẳng toạ độ bao gồm một đa giác lồi và phần nằm bên trong đa giác đó được gọi là một miền đa giác.

Hệ bất phương trình giúp ta mô tả được nhiều bài toán thực tế để tìm ra cách giải quyết tối ưu, các bài toán này thường được đưa về việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức $F=ax+by$ trên một miền đa giác.
Ví dụ. Một người dùng ba loại nguyên liệu $A,B,C$ để sản xuất ra hai loại sản phẩm $P$ và $Q$. Để sản xuất 1 kg mỗi loại sản phẩm $P$ hoặc $Q$ phải dùng một số kilôgam nguyên liệu khác nhau. Tổng số kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà người đó có và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần thiết để sản xuất ra 1 kg sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau:
Loại nguyên liệu | Số kilôgam nguyên liệu đang có | Số kilôgam từng loại nguyên liệu cần để sản xuất 1 kg sản phẩm
| | $P$ | $Q$
$A$ | 10 | 2 | 2
$B$ | 4 | 0 | 2
$C$ | 12 | 4 | 4
Biết 1 kg sản phẩm $P$ lãi 3 triệu đồng và 1 kg sản phẩm $Q$ lãi 5 triệu đồng. Hãy lập phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất.
Phương pháp giải
Để giải bài toán tìm phương án tối ưu ở trên, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1. Đặt biến số $x,y$ cho các đối tượng cần tìm.
Ví dụ. Đặt $x$ là số kilôgam sản phẩm $P$ và $y$ là số kilôgam sản phẩm $Q$ cần sản xuất.
Bước 2. Lập các hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc.
Ví dụ. $\left\{\begin{array}{l} 2x+2y\leq 10 \\ 2y\leq 4 \\ 2x+4y\leq 12 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{array}\right.$
Bước 3. Xây dựng hàm mục tiêu cho giá trị mà ta muốn đạt giá trị tối ưu.
Ví dụ. $F=3x+5y$ (Tiền lãi của phương án sản xuất mà ta muốn đạt lớn nhất).
Bước 4. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) trên hệ trục tọa độ $Oxy$ ta được một đa giác. Tìm toạ độ các đỉnh của đa giác.

Ví dụ. Miền nghiệm là ngũ giác $OCBAD$, trong đó $O(0;0);C(0;2);B(2;2)$; $A(4;1);D(5;0)$.
Bước 5. Do người ta đã chứng minh được $F$ đạt GTLN hoặc GTNN tại một trong các đỉnh của đa giác nên ta chỉ cần tính các giá trị của hàm mục tiêu $F$ tại các đỉnh của đa giác. Tìm ra đỉnh tại đó $F$ đạt GTLN hoặc GTNN. Toạ độ của đỉnh này là phương án tối ưu cần tìm.
Ví dụ. Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh:
Tại $O(0;0):F=3\cdot 0+5\cdot 0=0$;
Tại $C(0;2):F=3\cdot 0+5\cdot 2=10$;
Tại $B(2;2):F=3\cdot 2+5\cdot 2=16$;
Tại $A(4;1):F=3\cdot 4+5\cdot 1=17$;
Tại $D(5;0):F=3\cdot 5+5\cdot 0=15$.
Tại đỉnh $A(4;1)$, $F$ đạt giá trị lớn nhất là $17$.
Bước 6. Nêu kết luận dựa trên ngôn ngữ thực tế của bài toán.
Ví dụ. Vậy phương án sản xuất tối ưu là làm ra 4 kg sản phẩm $P$ và 1 kg sản phẩm $Q$. Khi đó sẽ có lãi cao nhất là 17 triệu đồng.