Định lí 1.
Trong tam giác $ABC$ với $BC=a, AC=b$ và $AB=c$.
Ta có $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$, $b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos B$, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Ta có thể suy ra hệ quả sau
Hệ quả 1.
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, $\cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$, $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 120^{\circ}$ và $AB=5$, $AC=8$. Tính độ dài cạnh $BC$.
Lời giải
Áp dụng Định lí côsin cho tam giác $ABC$, ta có:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos 120^{\circ}$
$= 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 129.$ Vậy $BC = \sqrt{129}.$
2. Định lí sin
Trong tam giác $ABC$ với $BC=a, AC=b, AB=c$ và $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$
Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 135^{\circ}, \widehat{C} = 15^{\circ}$ và $b=12$. Tính $a, c, R$ và số đo góc $B$.
Lời giải
Ta có: $\widehat{B} = 180^{\circ} - (\widehat{A} + \widehat{C}) = 180^{\circ} - \left(135^{\circ} + 15^{\circ}\right) = 30^{\circ}$.
Áp dụng Định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin 135^{\circ}} = \frac{12}{\sin 30^{\circ}} = \frac{c}{\sin 15^{\circ}} = 2R$.
Suy ra $a = \frac{12}{\sin 30^{\circ}} \cdot \sin 135^{\circ} = 12\sqrt{2}; c = \frac{12}{\sin 30^{\circ}} \cdot \sin 15^{\circ} = 24\sin 15^{\circ} (\approx 6{,}21); R = \frac{12}{2\sin 30^{\circ}} = 12$.
3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế
Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác
Ví dụ 3: Giải tam giác $ABC$, biết $c=14, \widehat{A} = 60^{\circ}, \widehat{B} = 40^{\circ}$.
Lời giải
Ta có $\widehat{C} = 180^{\circ} - (\widehat{A} + \widehat{B}) = 80^{\circ}$.
Áp dụng Định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin 60^{\circ}} = \frac{b}{\sin 40^{\circ}} = \frac{14}{\sin 80^{\circ}}$
Suy ra $a = \frac{14\sin 60^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \approx 12{,}31, b = \frac{14\sin 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} \approx 9{,}14$.
Ví dụ 4: Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa. Em có biết vì sao?
Lời giải
Theo các bước sau, ta có thể tiến hành đo khoảng cách từ vị trí $A$ trên bờ hồ Hoàn Kiếm đến Tháp Rùa
Bước 1. Trên bờ, đặt một cọc tiêu tại vị trí $A$ và một cọc tiêu tại vị trí $B$ nào đó. Đo khoảng cách $AB$.
Bước 2. Đứng tại $A$, ngắm Tháp Rùa và cọc tiêu $B$ để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.
Bước 3. Đứng tại $B$, ngắm cọc tiêu $A$ và Tháp Rùa để đo góc tạo bởi hai hướng ngắm đó.
Bước 4. Gọi $C$ là vị trí của Tháp Rùa. Áp dụng Định lí sin cho tam giác $ABC$ để tính độ dài cạnh $AC$.
4. Công thức tính diện tích tam giác
Với tam giác $ABC$ ta kí hiệu $h_a, h_b, h_c$ là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh $BC, CA, AB$; $R, r$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; $p = \frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi tam giác; $S$ là diện tích tam giác.
Khi đó ta có: $S = \frac{1}{2}ah_a = \frac{1}{2}bh_b = \frac{1}{2}ch_c$ $= \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$ $= \frac{abc}{4R} = pr = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$
Ví dụ 5: Tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$ có $c=4, b=6, \widehat{A} = 150^{\circ}$.
Lời giải
Ta có: $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin 150^{\circ} = 6$.
Ví dụ 6: Cho tam giác $ABC$ có $a=13, b=14, c=15$.
a) Tính $\sin A$.
b) Tính diện tích $S$ bằng hai cách khác nhau.
Lời giải
a) Áp dụng Định lí côsin, ta có: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{14^2+15^2-13^2}{420} = 0{,}6$.
Do đó $\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = 0{,}8$.
b) Ta có $S = \frac{1}{2}bc\sin A = 84$.
Áp dụng Công thức Heron, ta cũng có thể tính $S$ theo cách thứ hai sau:
Tam giác $ABC$ có nửa chu vi là: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = 21$.
Khi đó $S_{ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21 \cdot (21-13) \cdot (21-14) \cdot (21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84.$
