Lý thuyết Phương trình đường thẳng

Vectơ $u$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu $u\neq 0$ và giá của $u$ song song hoặc trùng với $\Delta$.
Vectơ $n$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu $n\neq 0$ và $n$ vuông góc với vectơ chỉ phương của $\Delta$.
Chú ý:
- Nếu đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $n=(a; b)$ thì $\Delta$ sẽ nhận $u=(b; -a)$ hoặc $u=(-b; a)$ là một vectơ chỉ phương.
- Nếu $u$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ thì $ku$ ($k\neq 0$) cũng là vectơ chỉ phương của $\Delta$.
- Nếu $n$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ thì $kn$ ($k\neq 0$) cũng là vectơ pháp tuyến của $\Delta$.

Trong mặt phẳng $Oxy$, ta gọi: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+tu_1\\y=y_0+tu_2\end{array}\right.$ (với $u_1^2+u_2^2>0$, $t\in\mathbb{R}$)
là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0)$ có vectơ chỉ phương $u=(u_1; u_2)$.
Chú ý: Cho $t$ một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng $\Delta$ và ngược lại.

Trong mặt phẳng $Oxy$, mỗi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng $ax+by+c=0$,
với $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0.
Chú ý:
- Mỗi phương trình $ax+by+c=0$ ($a$ và $b$ không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng có vectơ pháp tuyến $n=(a; b)$.
- Khi cho phương trình đường thẳng $ax+by+c=0$, ta hiểu $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$.

Nếu $n_1$ và $n_2$ cùng phương thì $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm $P$ tuỳ ý trên $\Delta_1$.
- Nếu $P\in\Delta_2$ thì $\Delta_1\equiv\Delta_2$.
- Nếu $P\notin\Delta_2$ thì $\Delta_1\parallel\Delta_2$.
Nếu $n_1$ và $n_2$ không cùng phương thì $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tại một điểm $M(x_0; y_0)$ với $(x_0; y_0)$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\end{array}\right.$
Chú ý:
a) Nếu $n_1\cdot n_2=0$ thì $n_1\perp n_2$, suy ra $\Delta_1\perp\Delta_2$.
b) Để xét hai vectơ $n_1(a_1; b_1)$ và $n_2(a_2; b_2)$ cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu thức $a_1b_2-a_2b_1$:
- Nếu $a_1b_2-a_2b_1=0$ thì hai vectơ cùng phương.
- Nếu $a_1b_2-a_2b_1\neq 0$ thì hai vectơ không cùng phương.
Trong trường hợp tất cả các hệ số $a_1, a_2, b_1, b_2$ đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:
- Nếu $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}$ thì hai vectơ cùng phương.
- Nếu $\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}$ thì hai vectơ không cùng phương.

Hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tạo thành bốn góc.
- Nếu $\Delta_1$ không vuông góc với $\Delta_2$ thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$.
- Nếu $\Delta_1$ vuông góc với $\Delta_2$ thì ta nói góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ bằng $90^\circ$.

Cho hai đường thẳng $\Delta_1: a_1x+b_1y+c_1=0$ ($a_1^2+b_1^2>0$), $\Delta_2: a_2x+b_2y+c_2=0$ ($a_2^2+b_2^2>0$) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $n_1$ và $n_2$.
Ta có công thức: $\cos(\Delta_1,\Delta_2)=\frac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$.
Chú ý:
Ta đã biết hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến vuông góc. Do đó:
- Nếu $\Delta_1$ và $\Delta_2$ lần lượt có phương trình $a_1x+b_1y+c_1=0$ và $a_2x+b_2y+c_2=0$ thì ta có: $(\Delta_1,\Delta_2)=90^\circ\Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2=0$.
- Nếu $\Delta_1$ và $\Delta_2$ lần lượt có phương trình $y=k_1x+m_1$ và $y=k_2x+m_2$ thì ta có: $(\Delta_1,\Delta_2)=90^\circ\Leftrightarrow k_1\cdot k_2=-1$.
Nói cách khác, hai đường thẳng có tích hệ số góc bằng -1 thì vuông góc với nhau.

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $ax+by+c=0$ ($a^2+b^2>0$) và điểm $M_0(x_0; y_0)$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M_0; \Delta)$ được tính bởi công thức: $d(M_0,\Delta)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.