Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng — Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Cho hai vectơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ khác $0$.
- Ta gọi góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ là góc giữa hai tia $OA, OB$ và được kí hiệu là $(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$.
- Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ là một số thực, kí hiệu $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$, được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \|\overrightarrow{OA}\| \cdot \|\overrightarrow{OB}\| \cdot \cos(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$
Định nghĩa 2
Cho hai vectơ $a, b$ khác $0$. Lấy một điểm $O$ và vẽ vectơ $\overrightarrow{OA} = a, \overrightarrow{OB} = b$.
- Góc giữa hai vectơ $a, b$, kí hiệu $(a, b)$, là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$.
- Tích vô hướng của hai vectơ $a$ và $b$, kí hiệu $a \cdot b$, là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$. Như vậy, tích vô hướng của hai vectơ $a$ và $b$ là một số thực được xác định bởi công thức: $a \cdot b = \|a\| \cdot \|b\| \cdot \cos(a, b)$.
$+$ Khi $a$ và $b$ cùng hướng thì $a \cdot b = \|a\| \cdot \|b\|$.
$+$ Khi $a$ và $b$ ngược hướng thì $a \cdot b = -\|a\| \cdot \|b\|$.
$+$ Khi $(a, b) = 90^\circ$ thì $a \cdot b = 0$.
Cho hai vectơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ khác $0$.
- Ta gọi góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$ là góc giữa hai tia $OA, OB$ và được kí hiệu là $(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$.
- Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ là một số thực, kí hiệu $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$, được xác định bởi công thức: $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \|\overrightarrow{OA}\| \cdot \|\overrightarrow{OB}\| \cdot \cos(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})$
Định nghĩa 2
Cho hai vectơ $a, b$ khác $0$. Lấy một điểm $O$ và vẽ vectơ $\overrightarrow{OA} = a, \overrightarrow{OB} = b$.
- Góc giữa hai vectơ $a, b$, kí hiệu $(a, b)$, là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}$.
- Tích vô hướng của hai vectơ $a$ và $b$, kí hiệu $a \cdot b$, là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$. Như vậy, tích vô hướng của hai vectơ $a$ và $b$ là một số thực được xác định bởi công thức: $a \cdot b = \|a\| \cdot \|b\| \cdot \cos(a, b)$.
$+$ Khi $a$ và $b$ cùng hướng thì $a \cdot b = \|a\| \cdot \|b\|$.
$+$ Khi $a$ và $b$ ngược hướng thì $a \cdot b = -\|a\| \cdot \|b\|$.
$+$ Khi $(a, b) = 90^\circ$ thì $a \cdot b = 0$.
2. Tính chất
Với hai vectơ bất kì $a, b$ và số thực $k$ tuỳ ý, ta có:
$a \cdot b = b \cdot a$ (tính chất giao hoán);
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ (tính chất phân phối);
$(ka) \cdot b = k(a \cdot b) = a \cdot (kb)$
$a^2 \geq 0, a^2 = 0 \Leftrightarrow a = 0$.
Nhận xét: $(a + b)^2 = a^2 + 2a \cdot b + b^2; (a - b)^2 = a^2 - 2a \cdot b + b^2$; $(a - b) \cdot (a + b) = a^2 - b^2$.
$a \cdot b = b \cdot a$ (tính chất giao hoán);
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ (tính chất phân phối);
$(ka) \cdot b = k(a \cdot b) = a \cdot (kb)$
$a^2 \geq 0, a^2 = 0 \Leftrightarrow a = 0$.
Nhận xét: $(a + b)^2 = a^2 + 2a \cdot b + b^2; (a - b)^2 = a^2 - 2a \cdot b + b^2$; $(a - b) \cdot (a + b) = a^2 - b^2$.