Với mỗi vectơ $\vec{u}$ trên mặt phẳng $Oxy$, có duy nhất cặp số $\left(x_0;y_0\right)$ sao cho $\vec{u}=x_0\vec{i}+y_0\vec{j}$. Ta nói vectơ $\vec{u}$ có tọa độ $\left(x_0;y_0\right)$ và viết $\vec{u}=\left(x_0;y_0\right)$ hay $\vec{u}\left(x_0;y_0\right)$. Các số $x_0,y_0$ tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của $\vec{u}$.
Nhận xét. Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ $\vec{u}\left(x;y\right)=\vec{v}\left(x';y'\right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=x' \\ y=y' \end{array} \right.$
2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho $\vec{a}=\left(x;y\right),\,\vec{b}=\left(x';y'\right);\,k\in\mathbb{R}$,
+) $\vec{a}\pm\vec{b}=\left(x\pm x';\,y\pm y'\right)$
+) $k\vec{a}=\left(kx;ky\right)$
Nhận xét: $\vec{b}$ cùng phương với $\vec{a}\neq 0\Leftrightarrow \exists k\in\mathbb{R}:x'=kx$ và $y'=ky\Leftrightarrow \dfrac{x'}{x}=\dfrac{y'}{y}$ (nếu $x\neq 0,\,y\neq 0$).
Nếu điểm $M$ có tọa độ $\left(x;y\right)$ thì vectơ $\vec{OM}$ có tọa độ $\left(x;y\right)$ và độ dài $\left|\vec{OM}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$
Với hai điểm $M\left(x;y\right)$ và $N\left(x';y'\right)$ thì $\vec{MN}=\left(x'-x;y'-y\right)$ và khoảng cách giữa hai điểm $M,N$ là $MN=\left|\vec{MN}\right|=\sqrt{\left(x'-x\right)^2+\left(y'-y\right)^2}$
- Cho hai điểm $A\left(x_A;y_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B\right)$. Nếu $M\left(x_M;y_M\right)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì
$x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$.
- Cho tam giác $ABC$ có $A\left(x_A;y_A\right),B\left(x_B;y_B\right),C\left(x_C;y_C\right)$. Nếu $G\left(x_G;y_G\right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$.
3. Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho hai vectơ $a=\left(a_1;a_2\right),b=\left(b_1;b_2\right)$ và hai điểm $A\left(x_A;y_A\right),B\left(x_B;y_B\right)$. Ta có:
- $a\perp b\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0$;
- $a$ và $b$ cùng phương $\Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_1=0$
- $\lVert\vec{a}\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$
- $\cos(\vec{a},\vec{b})=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\lVert\vec{a}\rVert\cdot\lVert\vec{b}\rVert}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$ ($\vec{a},\vec{b}$ khác $0$).
