Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm

Hàm số $y = x^n$ với $n \in \mathbb{N}^*$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $\left({x^n}\right)' = nx^{n-1}$.

Hàm số $y = \sqrt{x}$ có đạo hàm trên khoảng $(0; +\infty)$ và $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Nhận xét:
a) Cho số thực $\alpha$. Hàm số $y = x^{\alpha}$ được gọi là hàm số luỹ thừa (với tập xác định $(0; +\infty))$.
Công thức $\left({x^n}\right)' = nx^{n-1}$ còn đúng khi $n$ là số thực, tức là với số thực $\alpha$ bất kì $\left({x^{\alpha}}\right)' = \alpha x^{\alpha-1} (x > 0)$.
Với $\alpha = \frac{1}{2}$, ta nhận được công thức đã biết:
$(\sqrt{x})' = \left({x^{\frac{1}{2}}}\right)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} (x > 0).$
b) Ở bài học trước, dùng định nghĩa ta tìm được các công thức đạo hàm:
- $(C)' = 0, C$ là hằng số;
- $\left({\frac{1}{x}}\right)' = -\frac{1}{x^2}, x \neq 0$;

- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
- $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} \left({x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}}\right)$;
- $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} (x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z})$.

Ta có công thức đạo hàm của các hàm số mũ và hàm số lôgarit sau:
- $\left({e^x}\right)' = e^x$;
- $(\ln x)' = \frac{1}{x} (x > 0)$;
- $\left({a^x}\right)' = a^x \ln a (a > 0, a \neq 1)$;
- $\left({\log_a x}\right)' = \frac{1}{x \ln a} (x > 0, a > 0, a \neq 1)$.

Cho hai hàm số $u(x), v(x)$ có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định. Ta có:
- $(u+v)' = u' + v'$
- $(u-v)' = u' - v'$;
- $(uv)' = u'v + uv'$
- $\left({\frac{u}{v}}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ (với $v = v(x) \neq 0$).
Chú ý:
- Với $u = C$ ($C$ là hằng số), công thức (1) trở thành $(C.v)' = C.v'$;
- Với $u = 1$, công thức (2) trở thành $\left({\frac{1}{v}}\right)' = -\frac{v'}{v^2}$ (với $v = v(x) \neq 0$).

Cho hàm số $u = g(x)$ có đạo hàm tại $x$ là $u'_x$ và hàm số $y = f(u)$ có đạo hàm tại $u$ là $y'_u$ thì hàm hợp $y = f(g(x))$ có đạo hàm tại $x$ là $y'_x = y'_u . u'_x$.

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại mọi $x \in (a;b)$ thì ta có hàm số $y' = f'(x)$ xác định trên $(a;b)$.
Nếu hàm số $y' = f'(x)$ lại có đạo hàm tại $x$ thì ta gọi đạo hàm của $y'$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f(x)$ tại $x$ và kí hiệu là $y''$ hoặc $f''(x)$.
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai $f''(t)$ là gia tốc tức thời tại thời điểm $t$ của vật chuyển động có phương trình $s = f(t)$.