Lý thuyết Dãy số
Dãy số — Kiến thức cần nhớ
1. Khái niệm dãy số
- Hàm số $u$ xác định trên tập hợp các số nguyên dương $\mathbb{N}^*$ được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số), nghĩa là
$\begin{array}{ll} u: \mathbb{N}^* & \to \mathbb{R} \\ n & \mapsto u_n = u(n). \end{array}$
Dãy số trên được kí hiệu là $(u_n)$.
Dạng khai triển của dãy số $(u_n)$ là: $u_1; u_2; \ldots; u_n; \ldots$
- Hàm số $u$ xác định trên tập hợp $M = \{1; 2; 3; \ldots; m\}$ thì được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của dãy số này là $u_1, u_2, \ldots, u_m$, trong đó $u_1$ là số hạng đầu và $u_m$ là số hạng cuối.
$\begin{array}{ll} u: \mathbb{N}^* & \to \mathbb{R} \\ n & \mapsto u_n = u(n). \end{array}$
Dãy số trên được kí hiệu là $(u_n)$.
Dạng khai triển của dãy số $(u_n)$ là: $u_1; u_2; \ldots; u_n; \ldots$
- Hàm số $u$ xác định trên tập hợp $M = \{1; 2; 3; \ldots; m\}$ thì được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của dãy số này là $u_1, u_2, \ldots, u_m$, trong đó $u_1$ là số hạng đầu và $u_m$ là số hạng cuối.
2. Cách xác định dãy số
Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:
Cách 1: Liệt kê các số hạng (với các dãy số hữu hạn).
Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát $u_n$.
Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa là
- Cho số hạng thứ nhất $u_1$ (hoặc một vài số hạng đầu tiên);
- Cho một công thức tính $u_n$ theo $u_{n-1}$ (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).
Cách 4: Cho bằng cách mô tả.
Cách 1: Liệt kê các số hạng (với các dãy số hữu hạn).
Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát $u_n$.
Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa là
- Cho số hạng thứ nhất $u_1$ (hoặc một vài số hạng đầu tiên);
- Cho một công thức tính $u_n$ theo $u_{n-1}$ (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).
Cách 4: Cho bằng cách mô tả.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
Cho dãy số $(u_n)$.
Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số tăng nếu $u_{n+1} > u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số giảm nếu $u_{n+1} < u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số tăng nếu $u_{n+1} > u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số giảm nếu $u_{n+1} < u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
4. Dãy số bị chặn
- Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho $u_n \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
- Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho $u_n \geq m, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
- Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số $M$ và $m$ sao cho $m \leq u_n \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
- Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho $u_n \geq m, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
- Dãy số $(u_n)$ được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số $M$ và $m$ sao cho $m \leq u_n \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^*$.