Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Định nghĩa đạo hàm — Kiến thức cần nhớ
1. Đạo hàm
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ và $x_0\in(a;b)$.
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số $f(x)$ tại $x_0$, kí hiệu là $f'(x_0)$ hoặc $y'(x_0)$.
Vậy: $f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
Chú ý:
- Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$. Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm $x\in(a;b)$ thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng $(a;b)$, kí hiệu $y'$ hoặc $f'(x)$.
- Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$, có đạo hàm tại $x_0\in(a;b)$.
a) Đại lượng $\Delta x=x-x_0$ gọi là số gia của biến tại $x_0$. Đại lượng $\Delta y=f(x)-f(x_0)$ gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, $x=x_0+\Delta x$ và $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$.
b) Tỉ số $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng $y$ theo đại lượng $x$ trong khoảng từ $x_0$ đến $x_0+\Delta x$; còn $f'(x_0)$ biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng $y$ theo đại lượng $x$ tại điểm $x_0$.
Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
- Nếu hàm số $s=f(t)$ biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian $t$ thì $f'(t_0)$ biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0$.
- Nếu hàm số $T=f(t)$ biểu thị nhiệt độ $T$ theo thời gian $t$ thì $f'(t_0)$ biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm $t_0$.
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số $f(x)$ tại $x_0$, kí hiệu là $f'(x_0)$ hoặc $y'(x_0)$.
Vậy: $f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$.
Chú ý:
- Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$. Nếu hàm số này có đạo hàm tại mọi điểm $x\in(a;b)$ thì ta nói nó có đạo hàm trên khoảng $(a;b)$, kí hiệu $y'$ hoặc $f'(x)$.
- Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$, có đạo hàm tại $x_0\in(a;b)$.
a) Đại lượng $\Delta x=x-x_0$ gọi là số gia của biến tại $x_0$. Đại lượng $\Delta y=f(x)-f(x_0)$ gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, $x=x_0+\Delta x$ và $f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$.
b) Tỉ số $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng $y$ theo đại lượng $x$ trong khoảng từ $x_0$ đến $x_0+\Delta x$; còn $f'(x_0)$ biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng $y$ theo đại lượng $x$ tại điểm $x_0$.
Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
- Nếu hàm số $s=f(t)$ biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian $t$ thì $f'(t_0)$ biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0$.
- Nếu hàm số $T=f(t)$ biểu thị nhiệt độ $T$ theo thời gian $t$ thì $f'(t_0)$ biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm $t_0$.
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ là hệ số góc của tiếp tuyến $M_0T$ với đồ thị $(C)$ của hàm số tại điểm $M_0(x_0;f(x_0))$.
Tiếp tuyến $M_0T$ có phương trình là $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$.
Tiếp tuyến $M_0T$ có phương trình là $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$.