Lý thuyết Giới hạn của dãy số

- $\lim u_n=0$ khi và chỉ khi $\left| u_n \right|$ nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
- $\lim u_n=a$ khi và chỉ khi $\lim \left( u_n-a \right)=0$.
Chú ý: Ta dùng kí hiệu $\lim u_n$ thay cho $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n$.

Nếu $u_n=c$ ($c$ là hằng số) thì $\lim u_n=\lim c=c$.
$\lim \frac{1}{n^{k}}=0$ (tổng quát: $\lim \frac{c}{n^{k}}=0$, $k$ nguyên dương, $c$ là hằng số).
$\lim q^{n}=0$ ($q$ là số thực, $|q|<1$).

Cho $\lim u_n=a$, $\lim v_n=b$ và $c$ là hằng số. Khi đó:
- $\lim \left( u_n+v_n \right)=a+b$
- $\lim \left( u_n-v_n \right)=a-b$
- $\lim \left( c\cdot u_n \right)=c\cdot a$;
- $\lim \left( u_n\cdot v_n \right)=a\cdot b$;
- $\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}$ $(b\neq 0)$
- Nếu $u_n\geq 0$, $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$ thì $a\geq 0$ và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$.

Cấp số nhân vô hạn $\left( u_n \right)$ có công bội $q$ thoả mãn $|q|<1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là $S=u_1+u_2+\ldots+u_n+\ldots=\frac{u_1}{1-q}.$

- $\lim u_n=+\infty$ khi và chỉ khi $u_n$ lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
- $\lim u_n=-\infty$ khi và chỉ khi $\lim \left( -u_n \right)=+\infty$.
Chú ý:
- $\lim n^{k}=+\infty$ ($k$ là số nguyên dương);
- $\lim q^{n}=+\infty$ $(q>1)$;
- Nếu $\lim u_n=+\infty$ hoặc $\lim u_n=-\infty$ thì $\lim \frac{1}{u_n}=0$;
- Nếu $\lim u_n=0$ và $u_n>0$ với mọi $n$ thì $\lim \frac{1}{u_n}=+\infty$;
- Giả sử $\lim u_n=+\infty$ và $\lim v_n=a$.
Nếu $a>0$ thì $\lim u_n v_n=+\infty$.
Nếu $a<0$ thì $\lim u_n v_n=-\infty$.