Lý thuyết Giới hạn của hàm số
Giới hạn hàm số — Kiến thức cần nhớ
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số
Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Cho khoảng $K$ chứa điểm $x_0$ và hàm số $y = f(x)$ xác định trên $K$ hoặc trên $K \setminus \{x_0\}$. $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n \in K \setminus \{x_0\}$ và $\lim x_n = x_0$, ta có $\lim f(x_n) = L$.
Giới hạn một phía
- Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(x_0; b)$.
$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_0 < x_n < b$ và $\lim x_n = x_0$, ta có $\lim f(x_n) = L$.
- Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; x_0)$.
$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $a < x_n < x_0$ và $\lim x_n = x_0$, ta có $\lim f(x_n) = L$.
$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_0 < x_n < b$ và $\lim x_n = x_0$, ta có $\lim f(x_n) = L$.
- Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; x_0)$.
$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $a < x_n < x_0$ và $\lim x_n = x_0$, ta có $\lim f(x_n) = L$.
Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
- Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; +\infty)$.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n > a$ và $\lim x_n = +\infty$, ta có $\lim f(x_n) = L$.
- Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(-\infty; a)$.
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n < a$ và $\lim x_n = -\infty$, ta có $\lim f(x_n) = L$.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n > a$ và $\lim x_n = +\infty$, ta có $\lim f(x_n) = L$.
- Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(-\infty; a)$.
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n < a$ và $\lim x_n = -\infty$, ta có $\lim f(x_n) = L$.
2. Một số giới hạn hữu hạn cơ bản
- $\lim_{x \to x_0} x = x_0$;
- $\lim_{x \to x_0} c = c$
- $\lim_{x \to \pm\infty} c = c$
- $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{c}{x^k} = 0$
($c$ là hằng số, $k$ là số nguyên dương).
- $\lim_{x \to x_0} c = c$
- $\lim_{x \to \pm\infty} c = c$
- $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{c}{x^k} = 0$
($c$ là hằng số, $k$ là số nguyên dương).
3. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số
Cho $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = M$. Khi đó:
- $\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = L + M$;
- $\lim_{x \to x_0} [f(x) - g(x)] = L - M$;
- $\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$;
- $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$ (với $M \neq 0$);
- Nếu $f(x) \geq 0$ và $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ thì $L \geq 0$ và $\lim_{x \to x_0} \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$.
(Dấu của $f(x)$ được xét trên khoảng tìm giới hạn, $x \neq x_0$.)
- $\lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = L + M$;
- $\lim_{x \to x_0} [f(x) - g(x)] = L - M$;
- $\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$;
- $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$ (với $M \neq 0$);
- Nếu $f(x) \geq 0$ và $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ thì $L \geq 0$ và $\lim_{x \to x_0} \sqrt{f(x)} = \sqrt{L}$.
(Dấu của $f(x)$ được xét trên khoảng tìm giới hạn, $x \neq x_0$.)
4. Giới hạn vô cực của hàm số
- Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(x_0; b)$.
$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_0 < x_n < b$ và $\lim x_n = x_0$, ta có $\lim f(x_n) = +\infty$.
- Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; +\infty)$.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n > a$ và $\lim x_n = +\infty$, ta có $\lim f(x_n) = +\infty$.
Chú ý: Các giới hạn $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty$; $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty$; $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty$; $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$; $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$; $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ được định nghĩa tương tự.
$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_0 < x_n < b$ và $\lim x_n = x_0$, ta có $\lim f(x_n) = +\infty$.
- Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; +\infty)$.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ khi và chỉ khi với dãy số $(x_n)$ bất kì, $x_n > a$ và $\lim x_n = +\infty$, ta có $\lim f(x_n) = +\infty$.
Chú ý: Các giới hạn $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty$; $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty$; $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty$; $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$; $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$; $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ được định nghĩa tương tự.
5. Một số giới hạn vô cực cơ bản
- $\lim_{x \to a^+} \dfrac{1}{x - a} = +\infty$ và $\lim_{x \to a^-} \dfrac{1}{x - a} = -\infty$ ($a \in \mathbb{R}$);
- $\lim_{x \to +\infty} x^k = +\infty$ với $k$ nguyên dương;
- $\lim_{x \to -\infty} x^k = +\infty$ nếu $k$ là số nguyên dương chẵn;
- $\lim_{x \to -\infty} x^k = -\infty$ nếu $k$ là số nguyên dương lẻ.
- $\lim_{x \to +\infty} x^k = +\infty$ với $k$ nguyên dương;
- $\lim_{x \to -\infty} x^k = +\infty$ nếu $k$ là số nguyên dương chẵn;
- $\lim_{x \to -\infty} x^k = -\infty$ nếu $k$ là số nguyên dương lẻ.
6. Quy tắc tính giới hạn vô cực
Nếu $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L \neq 0$ và $\lim_{x \to x_0^+} g(x) = +\infty$ (hoặc $\lim_{x \to x_0^+} g(x) = -\infty$) thì $\lim_{x \to x_0^+} [f(x) \cdot g(x)]$ được tính theo quy tắc cho bởi bảng sau:
$\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ $\lim_{x \to x_0^+} g(x)$ $\lim_{x \to x_0^+} [f(x) \cdot g(x)]$
$L > 0$ $+\infty$ $+\infty$
$-\infty$ $-\infty$
$L < 0$ $+\infty$ $-\infty$
$-\infty$ $+\infty$
Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay $x_0^+$ thành $x_0^-$ (hoặc $+\infty, -\infty$).
$\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ $\lim_{x \to x_0^+} g(x)$ $\lim_{x \to x_0^+} [f(x) \cdot g(x)]$
$L > 0$ $+\infty$ $+\infty$
$-\infty$ $-\infty$
$L < 0$ $+\infty$ $-\infty$
$-\infty$ $+\infty$
Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay $x_0^+$ thành $x_0^-$ (hoặc $+\infty, -\infty$).