Lý thuyết Hàm số liên tục

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $K$ và $x_0\in K$.
Hàm số $y=f(x)$ liên tục tại điểm $x_0$ khi và chỉ khi $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.

- Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy.
- Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ nếu nó liên tục trên khoảng $(a;b)$ và $\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a),\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$.
- Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f(a)\cdot f(b)<0$ thì luôn tồn tại ít nhất một điểm $c\in(a;b)$ sao cho $f(c)=0$. (Nói cách khác, phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(a;b)$.)

- Hàm số đa thức $y=P(x)$, các hàm số lượng giác $y=\sin x,y=\cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
- Hàm số phân thức $y=\frac{P(x)}{Q(x)}$, hàm số căn thức $y=\sqrt{P(x)}$, các hàm số lượng giác $y=\tan x,y=\cot x$ liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng. ($P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức.)

Cho hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:
- Các hàm số $y=f(x)+g(x),y=f(x)-g(x)$ và $y=f(x)\cdot g(x)$ liên tục tại $x_0$.
- Hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại $x_0$ nếu $g(x_0)\neq 0$.