Lý thuyết Lôgarit
Lôgarit — Kiến thức cần nhớ
1. Khái niệm lôgarit
Cho hai số thực dương $a, b$ với $a \neq 1$. Số thực $\alpha$ thoả mãn đẳng thức $a^{\alpha} = b$
$\alpha = \log_a b \Leftrightarrow a^{\alpha} = b.$
Chú ý:
- Từ định nghĩa, ta có:
$\log_a 1 = 0; \log_a a = 1; \log_a a^b = b; a^{\log_a b} = b.$
- $\log_{10} b$ được viết là $\log b$ hoặc $\lg b$;
$\log_e b$ được viết là $\ln b$.
$\alpha = \log_a b \Leftrightarrow a^{\alpha} = b.$
Chú ý:
- Từ định nghĩa, ta có:
$\log_a 1 = 0; \log_a a = 1; \log_a a^b = b; a^{\log_a b} = b.$
- $\log_{10} b$ được viết là $\log b$ hoặc $\lg b$;
$\log_e b$ được viết là $\ln b$.
2. Tính chất
Với $a > 0, a \neq 1, M > 0, N > 0$, ta có:
- $\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$ (lôgarit của một tích)
- $\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ (lôgarit của một thương)
- $\log_a M^{\alpha} = \alpha \log_a M (\alpha \in \mathbb{R})$ (lôgarit của một luỹ thừa)
Chú ý: Đặc biệt, ta có:
- $\log_a \frac{1}{N} = -\log_a N$;
- $\log_a \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_a M$ với $n \in \mathbb{N}^*$.
- $\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$ (lôgarit của một tích)
- $\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ (lôgarit của một thương)
- $\log_a M^{\alpha} = \alpha \log_a M (\alpha \in \mathbb{R})$ (lôgarit của một luỹ thừa)
Chú ý: Đặc biệt, ta có:
- $\log_a \frac{1}{N} = -\log_a N$;
- $\log_a \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_a M$ với $n \in \mathbb{N}^*$.
3. Công thức đổi cơ số
Cho các số dương $a, b, N, a \neq 1, b \neq 1$, ta có $\log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a}$.
Đặc biệt, ta có:
- $\log_a N = \frac{1}{\log_N a} (N \neq 1)$;
- $\log_{a^{\alpha}} N = \frac{1}{\alpha} \log_a N (\alpha \neq 0)$.
Đặc biệt, ta có:
- $\log_a N = \frac{1}{\log_N a} (N \neq 1)$;
- $\log_{a^{\alpha}} N = \frac{1}{\alpha} \log_a N (\alpha \neq 0)$.