Lý thuyết Lũy thừa với số mũ thực

- Luỹ thừa với số mũ nguyên dương: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text{ thừa số}}$ ($a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}^*$).
- Luỹ thừa với số mũ nguyên âm, số mũ 0: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, $a^0 = 1$ ($n \in \mathbb{N}^*, a \in \mathbb{R}, a \neq 0$).

Cho số thực $b$ và số nguyên dương $n \geq 2$.
- Số $a$ là căn bậc $n$ của số $b$ nếu $a^n = b$.
- Sự tồn tại căn bậc $n$:
- Nếu $n$ lẻ thì có duy nhất một căn bậc $n$ của $b$, kí hiệu $\sqrt[n]{b}$.
- Nếu $n$ chẵn thì:
$\circ$ $b < 0$: không tồn tại căn bậc $n$ của $b$.
$\circ$ $b = 0$: có một căn bậc $n$ của $b$ là 0.
$\circ$ $b > 0$: có hai căn bậc $n$ của $b$ đối nhau, kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{b}$ và giá trị âm là $-\sqrt[n]{b}$
- Các tính chất:
$\circ$ $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$
$\circ$ $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$
$\circ$ $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$
$\circ$ $\sqrt[n]{a^n} = \begin{cases} a & \text{khi } n \text{ lẻ} \\ |a| & \text{khi } n \text{ chẵn} \end{cases}$
$\circ$ $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$

Cho số thực dương $a$ và số hữu tỉ $r = \dfrac{m}{n}$, trong đó $m, n \in \mathbb{Z}, n > 0$.
Ta có: $a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

Giả sử $a$ là một số dương, $\alpha$ là một số vô tỉ và $(r_n)$ là một dãy số hữu tỉ sao cho $\lim r_n = \alpha$. Khi đó $a^\alpha = \lim_{n \to +\infty} a^{r_n}$.

Cho $a, b$ là những số thực dương; $\alpha, \beta$ là những số thực bất kì. Khi đó:
$\circ$ $a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha + \beta}$
$\circ$ $(ab)^\alpha = a^\alpha b^\alpha$
$\circ$ $\dfrac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha - \beta}$
$\circ$ $\left(\dfrac{a}{b}\right)^\alpha = \dfrac{a^\alpha}{b^\alpha}$
$\circ$ $(a^\alpha)^\beta = a^{\alpha\beta}$