Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản
Phương trình lượng giác — Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình tương đương
- Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
- Để chỉ sự tương đương của các phương trình, người ta dùng kí hiệu “$\Leftrightarrow$”.
- Để chỉ sự tương đương của các phương trình, người ta dùng kí hiệu “$\Leftrightarrow$”.
2. Phương trình $\sin x=m$
a) Nếu $\lvert m\rvert>1$ thì phương trình vô nghiệm.
b) Nếu $\lvert m\rvert\leq1$ thì phương trình có nghiệm:
$x=\alpha+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$ và $x=\pi-\alpha+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$, với $\alpha$ là góc thuộc $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ sao cho $\sin\alpha=m$.
Chú ý:
a) Một số trường hợp đặc biệt:
$\sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$;
$\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$;
$\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi,k\in\mathbb{Z}$.
b) $\sin u=\sin v\Leftrightarrow u=v+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$ hoặc $u=\pi-v+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$.
c) $\sin x=\sin a^\circ\Leftrightarrow x=a^\circ+k360^\circ,k\in\mathbb{Z}$ hoặc $x=180^\circ-a^\circ+k360^\circ,k\in\mathbb{Z}$.
b) Nếu $\lvert m\rvert\leq1$ thì phương trình có nghiệm:
$x=\alpha+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$ và $x=\pi-\alpha+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$, với $\alpha$ là góc thuộc $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ sao cho $\sin\alpha=m$.
Chú ý:
a) Một số trường hợp đặc biệt:
$\sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$;
$\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$;
$\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi,k\in\mathbb{Z}$.
b) $\sin u=\sin v\Leftrightarrow u=v+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$ hoặc $u=\pi-v+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$.
c) $\sin x=\sin a^\circ\Leftrightarrow x=a^\circ+k360^\circ,k\in\mathbb{Z}$ hoặc $x=180^\circ-a^\circ+k360^\circ,k\in\mathbb{Z}$.
3. Phương trình $\cos x=m$
a) Nếu $\lvert m\rvert>1$ thì phương trình vô nghiệm.
b) Nếu $\lvert m\rvert\leq1$ thì phương trình có nghiệm:
$x=\alpha+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$ và $x=-\alpha+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$, với $\alpha$ là góc thuộc $[0;\pi]$ sao cho $\cos\alpha=m$.
Chú ý:
a) Một số trường hợp đặc biệt:
$\cos x=1\Leftrightarrow x=2k\pi,k\in\mathbb{Z}$;
$\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$;
$\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$.
b) $\cos u=\cos v\Leftrightarrow u=v+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$ hoặc $u=-v+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$.
c) $\cos x=\cos a^\circ\Leftrightarrow x=a^\circ+k360^\circ,k\in\mathbb{Z}$ hoặc $x=-a^\circ+k360^\circ,k\in\mathbb{Z}$.
b) Nếu $\lvert m\rvert\leq1$ thì phương trình có nghiệm:
$x=\alpha+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$ và $x=-\alpha+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$, với $\alpha$ là góc thuộc $[0;\pi]$ sao cho $\cos\alpha=m$.
Chú ý:
a) Một số trường hợp đặc biệt:
$\cos x=1\Leftrightarrow x=2k\pi,k\in\mathbb{Z}$;
$\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$;
$\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$.
b) $\cos u=\cos v\Leftrightarrow u=v+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$ hoặc $u=-v+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$.
c) $\cos x=\cos a^\circ\Leftrightarrow x=a^\circ+k360^\circ,k\in\mathbb{Z}$ hoặc $x=-a^\circ+k360^\circ,k\in\mathbb{Z}$.
4. Phương trình $\tan x=m$
Với mọi số thực $m$, phương trình $\tan x=m$ có nghiệm $x=\alpha+k\pi,k\in\mathbb{Z}$ với $\alpha$ là góc thuộc $\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$ sao cho $\tan\alpha=m$.
Chú ý: $\tan x=\tan a^\circ\Leftrightarrow x=a^\circ+k180^\circ,k\in\mathbb{Z}$.
Chú ý: $\tan x=\tan a^\circ\Leftrightarrow x=a^\circ+k180^\circ,k\in\mathbb{Z}$.
5. Phương trình $\cot x=m$
Với mọi số thực $m$, phương trình $\cot x=m$ có nghiệm $x=\alpha+k\pi,k\in\mathbb{Z}$ với $\alpha$ là góc thuộc $(0;\pi)$ sao cho $\cot\alpha=m$.
Chú ý: $\cot x=\cot a^\circ\Leftrightarrow x=a^\circ+k180^\circ,k\in\mathbb{Z}$.
Chú ý: $\cot x=\cot a^\circ\Leftrightarrow x=a^\circ+k180^\circ,k\in\mathbb{Z}$.