Lý thuyết Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

- Nếu $b \leq 0$ thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu $b > 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = \log_a b$.
Chú ý: Với $a > 0, a \neq 1$
a) $a^x = a^{\alpha} \Leftrightarrow x = \alpha$.
b) Tổng quát hơn, $a^{u(x)} = a^{v(x)} \Leftrightarrow u(x) = v(x)$.

Phương trình luôn có nghiệm duy nhất $x = a^b$.
Chú ý: Với $a > 0, a \neq 1$.
a) $\log_a u(x) = b \Leftrightarrow u(x) = a^b$.
b) $\log_a u(x) = \log_a v(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u(x) > 0 \\ u(x) = v(x) \end{array} \right.$
Có thể thay $u(x) > 0$ bằng $v(x) > 0$ (chọn bất phương trình đơn giản hơn).

$a^x > b$ hoặc $a^x \geq b$ hoặc $a^x < b$ hoặc $a^x \leq b (a > 0, a \neq 1)$.
Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình trên:
Bất phương trình | $b \leq 0$ | $b > 0$, $a > 1$ | $b > 0$, $0 < a < 1$
$a^x > b$ | $\forall x \in \mathbb{R}$ | $x > \log_a b$ | $x < \log_a b$
$a^x \geq b$ | $\forall x \in \mathbb{R}$ | $x \geq \log_a b$ | $x \leq \log_a b$
$a^x < b$ | Vô nghiệm | $x < \log_a b$ | $x > \log_a b$
$a^x \leq b$ | Vô nghiệm | $x \leq \log_a b$ | $x \geq \log_a b$
Chú ý:
- Nếu $a > 1$ thì $a^{u(x)} > a^{v(x)} \Leftrightarrow u(x) > v(x)$.
- Nếu $0 < a < 1$ thì $a^{u(x)} > a^{v(x)} \Leftrightarrow u(x) < v(x)$.

$\log_a x > b$ hoặc $\log_a x \geq b$ hoặc $\log_a x < b$ hoặc $\log_a x \leq b (a > 0, a \neq 1)$.
Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình trên:
Bất phương trình | $a > 1$ | $0 < a < 1$
$\log_a x > b$ | $x > a^b$ | $0 < x < a^b$
$\log_a x \geq b$ | $x \geq a^b$ | $0 < x \leq a^b$
$\log_a x < b$ | $0 < x < a^b$ | $x > a^b$
$\log_a x \leq b$ | $0 < x \leq a^b$ | $x \geq a^b$
Chú ý:
- Nếu $a > 1$ thì $\log_a u(x) > \log_a v(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} v(x) > 0 \\ u(x) > v(x) \end{array} \right.$
- Nếu $0 < a < 1$ thì $\log_a u(x) > \log_a v(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u(x) > 0 \\ u(x) < v(x) \end{array} \right.$