Lý thuyết Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Hệ gồm ba trục $Ox, Oy, Oz$ đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc $Oxyz$ trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ toạ độ $Oxyz$.
Chú ý: Ta gọi $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục $Ox, Oy, Oz$.
Trong hệ toạ độ $Oxyz$ (Hình), ta gọi: điểm $O$ là gốc toạ độ; $Ox$ là trục hoành, $Oy$ là trục tung, $Oz$ là trục cao; các mặt phẳng $(Oxy), (Oyz), (Ozx)$ là các mặt phẳng toạ độ.

Không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ còn được gọi là không gian $Oxyz$.
Nhận xét: Các mặt phẳng toạ độ $(Oxy), (Oyz), (Ozx)$ đôi một vuông góc với nhau.
Ví dụ 1: Một sân tennis với hệ toạ độ $Oxyz$ được chọn như ở Hình.

a) Hỏi mặt sân nằm trong mặt phẳng tọa độ nào?
b) Trục $Oz$ có vuông góc với mặt sân hay không?
Giải
a) Mặt sân nằm trong mặt phẳng toạ độ $(Oxy)$.
b) Trục $Oz$ vuông góc với mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ nên trục $Oz$ vuông góc với mặt sân.

Ta có định nghĩa sau (Hình):

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho điểm $M$.
- Xác định hình chiếu $M_1$ của điểm $M$ trên mặt phẳng $Oxy$. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, tìm hoành độ $a$, tung độ $b$ của điểm $M_1$.
- Xác định hình chiếu $P$ của điểm $M$ trên trục cao $Oz$, điểm $P$ ứng với số $c$ trên trục $Oz$. Số $c$ là cao độ của điểm $M$.
Bộ số $(a;b;c)$ là toạ độ của điểm $M$ trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, kí hiệu là $M(a;b;c)$.
Chú ý
- Toạ độ của một điểm $M$ trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ luôn tồn tại và duy nhất.
- Người ta còn có thể xác định tọa độ điểm $M$ theo cách sau (Hình):

+ Xác định hình chiếu $H$ của điểm $M$ trên trục hoành $Ox$, điểm $H$ ứng với số $a$ trên trục $Ox$. Số $a$ là hoành độ của điểm $M$.
+ Xác định hình chiếu $K$ của điểm $M$ trên trục tung $Oy$, điểm $K$ ứng với số $b$ trên trục $Oy$. Số $b$ là tung độ của điểm $M$.
+ Xác định hình chiếu $P$ của điểm $M$ trên trục cao $Oz$, điểm $P$ ứng với số $c$ trên trục $Oz$. Số $c$ là cao độ của điểm $M$.
Khi đó, bộ số $(a;b;c)$ là toạ độ của điểm $M$ trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho điểm $A(4;5;3)$. Gọi $A_1, A_2, A_3$ lần lượt là hình chiếu của điểm $A$ trên các mặt phẳng toạ độ $(Oxy), (Oyz)$, $(Ozx)$ (Hình). Tìm toạ độ của các điểm $A_1, A_2, A_3$.

Giải
Gọi $A_1(x_1;y_1;z_1), A_2(x_2;y_2;z_2), A_3(x_3;y_3;z_3)$.
Với $A(4;5;3)$, đặt $x_A=4, y_A=5, z_A=3$. Ta có:
+ $x_1=x_A=4; y_1=y_A=5$ và $z_1=0$ (vì $A_1$ nằm trên mặt phẳng $(Oxy)$). Do đó $A_1(4;5;0)$.
+ $y_2=y_A=5; z_2=z_A=3$ và $x_2=0$ (vì $A_2$ nằm trên mặt phẳng $(Oyz)$). Do đó $A_2(0;5;3)$.
+ $x_3=x_A=4; z_3=z_A=3$ và $y_3=0$ (vì $A_3$ nằm trên mặt phẳng $(Ozx)$). Do đó $A_3(4;0;3)$.

Toạ độ của điểm $M$ được gọi là toạ độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$.
Nếu $\overrightarrow{OM}$ có tọa độ $(a;b;c)$ thì ta viết $\overrightarrow{OM}=(a;b;c)$, trong đó $a$ gọi là hoành độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$, $b$ gọi là tung độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $c$ gọi là cao độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ (Hình).

Chú ý: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, ta có:
- $\overrightarrow{OM}=(a;b;c) \Leftrightarrow M(a;b;c)$;
- Vectơ đơn vị $\vec{i}$ trên trục $Ox$ có tọa độ là $\vec{i}=(1;0;0)$;
Vectơ đơn vị $\vec{j}$ trên trục $Oy$ có tọa độ là $\vec{j}=(0;1;0)$;
Vectơ đơn vị $\vec{k}$ trên trục $Oz$ có toạ độ là $\vec{k}=(0;0;1)$ (Hình).

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai điểm $M(-4;3;-1)$ và $N(2;-1;-3)$. Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}$.
Giải
Ta có: $M(-4;3;-1)$ và $N(2;-1;-3)$.
Do đó, $\overrightarrow{OM}=(-4;3;-1), \overrightarrow{ON}=(2;-1;-3)$.
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, toạ độ của một vectơ $\vec{u}$ là toạ độ của điểm $A$, trong đó $A$ là điểm sao cho $\overrightarrow{OA}=\vec{u}$.
Nếu $\vec{u}$ có tọa độ $(a;b;c)$ thì ta viết $\vec{u}=(a;b;c)$, trong đó $a$ gọi là hoành độ, $b$ gọi là tung độ và $c$ gọi là cao độ của vectơ $\vec{u}$.
Ví dụ 4: Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{A_1A}, \overrightarrow{A_2A}$ ở Hình.

Giải
Trong Hình, ta có: $\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{OL}, \overrightarrow{A_2A}=\overrightarrow{OH}$ mà $L(0;0;3)$ và $H(4;0;0)$.
Do đó, $\overrightarrow{A_1A}=(0;0;3)$ và $\overrightarrow{A_2A}=(4;0;0)$.
Ta có định lí sau:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, nếu $\vec{u}=(a;b;c)$ thì $\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}$.
Ngược lại, nếu $\vec{u}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}$ thì $\vec{u}=(a;b;c)$.
Chú ý: Với $\vec{u}=(x_1;y_1;z_1)$ và $\vec{v}=(x_2;y_2;z_2)$, ta có: $\vec{u}=\vec{v} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_1=x_2 \\ y_1=y_2 \\ z_1=z_2 \end{array} \right.$.
Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết toạ độ của nó.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-3)$ và vectơ $\vec{u}=(3;-4;2)$. Hãy biểu diễn theo các vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ và $\vec{k}$ mỗi vectơ sau:
a) $\overrightarrow{OA}$;
b) $\vec{u}$.
Giải
a) Vì điểm $A$ có toạ độ là $(1;2;-3)$ nên $\overrightarrow{OA}=(1;2;-3)$.
Do đó, $\overrightarrow{OA}=1\vec{i}+2\vec{j}+(-3)\vec{k}=\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}$.
b) Vì $\vec{u}=(3;-4;2)$ nên $\vec{u}=3\vec{i}+(-4)\vec{j}+2\vec{k}=3\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k}$.
Ta có định lí sau:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(x_A;y_A;z_A)$ và $B(x_B;y_B;z_B)$. Khi đó,
ta có: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A)$.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hình bình hành có ba đỉnh $A(1;1;-2), B(4;3;1)$ và $C(-1;-2;2)$.
a) Tìm toạ độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$.
b) Tìm toạ độ của điểm $D$.
Giải
a) Ta có:
$\overrightarrow{AB}=(4-1; 3-1; 1-(-2))=(3;2;3)$.
b) Gọi tọa độ của điểm $D$ là $(x_D;y_D;z_D)$, ta có:
$\overrightarrow{DC}=(-1-x_D; -2-y_D; 2-z_D)$.
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi
$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -1-x_D=3 \\ -2-y_D=2 \\ 2-z_D=3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_D=-4 \\ y_D=-4 \\ z_D=-1. \end{array} \right.$
Vậy $D(-4;-4;-1)$.

Nếu $\vec{u}=(x_1;y_1;z_1)$ và $\vec{v}=(x_2;y_2;z_2)$ thì
$\begin{array}{ll} \vec{u}+\vec{v} & =(x_1+x_2; y_1+y_2; z_1+z_2); \\ \vec{u}-\vec{v} & =(x_1-x_2; y_1-y_2; z_1-z_2); \\ m\vec{u} & =(mx_1; my_1; mz_1), \; m \in \mathbb{R}. \end{array}$
Nhận xét: Hai vectơ $\vec{u}=(x_1;y_1;z_1), \vec{v}=(x_2;y_2;z_2) \; (\vec{v} \neq \vec{0})$ cùng phương khi và chỉ khi có một số thực $m$ sao cho $\left\{ \begin{array}{l} x_1=mx_2 \\ y_1=my_2 \\ z_1=mz_2 \end{array} \right.$.
Ví dụ 7: Cho $\vec{a}=(-2;3;2), \vec{b}=(2;1;-1), \vec{c}=(1;2;3)$. Tính tọa độ của mỗi vectơ sau:
a) $3\vec{a}$;
b) $2\vec{a}-\vec{b}$;
c) $\vec{a}+2\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{c}$.
Giải
Ta có:
a) $3\vec{a}=(3 \cdot (-2); 3 \cdot 3; 3 \cdot 2)$. Vậy $3\vec{a}=(-6;9;6)$.
b) Ta có $2\vec{a}=(-4;6;4)$ và $\vec{b}=(2;1;-1)$. Do đó, $2\vec{a}-\vec{b}=(-4-2; 6-1; 4-(-1))$.
Vậy $2\vec{a}-\vec{b}=(-6;5;5)$.
c) Do $\vec{a}=(-2;3;2)$ và $2\vec{b}=(4;2;-2)$ nên $\vec{a}+2\vec{b}=(2;5;0)$. Ngoài ra, vì $-\frac{3}{2}\vec{c}=\left( -\frac{3}{2}; -3; -\frac{9}{2} \right)$ nên $\vec{a}+2\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{c}=\left( \frac{1}{2}; 2; -\frac{9}{2} \right)$.

- Cho hai điểm $A(x_A;y_A;z_A)$ và $B(x_B;y_B;z_B)$. Nếu $M(x_M;y_M;z_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì
$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}; y_M=\frac{y_A+y_B}{2}; z_M=\frac{z_A+z_B}{2}.$
- Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A;y_A;z_A), B(x_B;y_B;z_B), C(x_C;y_C;z_C)$. Nếu $G(x_G;y_G;z_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì
$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}; y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}; z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}.$
Ví dụ 8: Cho tam giác $ABC$ có $A(-2;1;0), B(0;2;5), C(5;0;2)$. Tìm toạ độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ và trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
Giải
Do $M(x_M;y_M;z_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ nên
$x_M=\frac{-2+0}{2}=-1; y_M=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}; z_M=\frac{0+5}{2}=\frac{5}{2}.$
Vậy $M\left( -1; \frac{3}{2}; \frac{5}{2} \right)$.
Do $G(x_G;y_G;z_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên
$x_G=\frac{-2+0+5}{3}=1$;
$y_G=\frac{1+2+0}{3}=1$;
$z_G=\frac{0+5+2}{3}=\frac{7}{3}$.
Vậy $G\left( 1; 1; \frac{7}{3} \right)$.

Nếu $\vec{u}=(x_1;y_1;z_1)$ và $\vec{v}=(x_2;y_2;z_2)$ thì $\vec{u} \cdot \vec{v}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$.
Nhận xét
a) Nếu $\vec{a}=(x;y;z)$ thì $\|\vec{a}\|=\sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
b) Nếu $A(x_1;y_1;z_1)$ và $B(x_2;y_2;z_2)$ thì $AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$.
c) Với hai vectơ $\vec{u}=(x_1;y_1;z_1)$ và $\vec{v}=(x_2;y_2;z_2)$ khác vectơ $\vec{0}$, ta có:
- $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$.
- $\cos(\vec{u},\vec{v})=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$.
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $A(1;0;0), B(0;0;1)$ và $C(2;1;1)$.
a) Chứng minh rằng $A, B, C$ không thẳng hàng.
b) Tính chu vi của tam giác $ABC$.
c) Tính $\cos \widehat{ABC}$.
Giải
a) Ta có: $\overrightarrow{BA}=(1;0;-1), \overrightarrow{BC}=(2;1;0)$. Suy ra $\overrightarrow{BA}=(1;0;-1) \neq k\overrightarrow{BC}=(2k;k;0)$ với mọi $k \in \mathbb{R}$. Vậy ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng.
b) Ta thấy:
$BA=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$,
$BC=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}$,
$AC=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$.
Vậy chu vi của tam giác $ABC$ bằng $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$.
c) Ta có:
$\cos \widehat{ABC}=\cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{\|\overrightarrow{BA}\| \cdot \|\overrightarrow{BC}\|}=\frac{1 \cdot 2+0 \cdot 1+(-1) \cdot 0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$.

Ta có định lí sau:
Cho hai vectơ $\vec{u}=(x_1;y_1;z_1)$ và $\vec{v}=(x_2;y_2;z_2)$ không cùng phương.
Khi đó, vectơ $\vec{w}=(y_1z_2-y_2z_1; z_1x_2-z_2x_1; x_1y_2-x_2y_1)$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.
Nhận xét
- Vectơ $\vec{w}$ trong định lí trên còn được gọi là tích có hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$, kí hiệu là $\vec{w}=[\vec{u},\vec{v}]$.
- Để thuận tiện trong cách viết, ta quy ước: $\left| \begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array} \right|=ad-bc$, với $a, b, c, d$ là các số thực.
Khi đó, với hai vectơ $\vec{u}=(x_1;y_1;z_1)$ và $\vec{v}=(x_2;y_2;z_2)$, ta có:
$[\vec{u},\vec{v}]=\left( \left| \begin{array}{ll} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{array} \right|; \left| \begin{array}{ll} z_1 & x_1 \\ z_2 & x_2 \end{array} \right|; \left| \begin{array}{ll} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{array} \right| \right).$
- Hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ không cùng phương khi và chỉ khi vectơ $\vec{w}=[\vec{u},\vec{v}] \neq \vec{0}$.
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(1;-2;3)$ và $\vec{v}=(2;0;-3)$. Hãy chỉ ra toạ độ của một vectơ $\vec{w}$ khác $\vec{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.
Giải
Ta có:
$[\vec{u},\vec{v}]=\left( \left| \begin{array}{ll} -2 & 3 \\ 0 & -3 \end{array} \right|; \left| \begin{array}{ll} 3 & 1 \\ -3 & 2 \end{array} \right|; \left| \begin{array}{ll} 1 & -2 \\ 2 & 0 \end{array} \right| \right)=(6;9;4).$
Chọn $\vec{w}=(6;9;4)$. Theo định lí trên, vectơ $\vec{w}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$.