Lý thuyết Cực trị của hàm số

Tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(a;b)$ ($a$ có thể là $-\infty$, $b$ có thể là $+\infty$) và điểm $x_0\in(a;b)$.
- Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f(x)<f(x_0)$ với mọi $x\in(x_0-h;x_0+h)\subset(a;b)$ và $x\neq x_0$ thì ta nói hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$.
- Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f(x)>f(x_0)$ với mọi $x\in(x_0-h;x_0+h)\subset(a;b)$ và $x\neq x_0$ thì ta nói hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0$.
Chú ý
- Nếu hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$ thì $x_0$ được gọi là điểm cực đại của hàm số $f(x)$. Khi đó, $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $f(x)$ và kí hiệu là $f_{CĐ}$ hay $y_{CĐ}$. Điểm $M_0(x_0;f(x_0))$ được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
- Nếu hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0$ thì $x_0$ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$. Khi đó, $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $f(x)$ và kí hiệu là $f_{CT}$ hay $y_{CT}$. Điểm $M_0(x_0;f(x_0))$ được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
- Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
Ví dụ 1. Hình là đồ thị của hàm số $y=f(x)$. Hãy tìm các cực trị của hàm số.

Giải
Từ đồ thị hàm số, ta có:
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ và $y_{CT}=y(-1)=2$.
Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và $y_{CĐ}=y(0)=3$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và $y_{CT}=y(1)=2$.

ĐỊNH LÍ
Giả sử hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a;x_0)$ và $(x_0;b)$. Khi đó:
a) Nếu $f'(x)<0$ với mọi $x\in(a;x_0)$ và $f'(x)>0$ với mọi $x\in(x_0;b)$ thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$.
b) Nếu $f'(x)>0$ với mọi $x\in(a;x_0)$ và $f'(x)<0$ với mọi $x\in(x_0;b)$ thì $x_0$ là một điểm cực đại của hàm số $f(x)$.
Định lí trên được viết gọn lại trong hai bảng biến thiên sau:

Chú ý. Từ định lí trên ta có các bước tìm cực trị của hàm số $y=f(x)$ như sau:
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm $f'(x)$. Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm $f'(x)$ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
3. Lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số $y=x^3-6x^2+9x+30$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.
Ta có: $y'=3x^2-12x+9;y'=0\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=3$.
Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và $y_{CĐ}=y(1)=34$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ và $y_{CT}=y(3)=30$.
Chú ý. Nếu $f'(x_0)=0$ nhưng $f'(x)$ không đổi dấu khi $x$ qua $x_0$ thì $x_0$ không phải là điểm cực trị của hàm số. Chẳng hạn, hàm số $f(x)=x^3$ có $f'(x)=3x^2,f'(0)=0$, nhưng $x=0$ không phải là điểm cực trị của hàm số.

Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số $y=\dfrac{x^2-2x+9}{x-2}$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.
Ta có: $y'=\dfrac{(2x-2)(x-2)-(x^2-2x+9)}{(x-2)^2}=\dfrac{x^2-4x-5}{(x-2)^2};y'=0\Leftrightarrow x=-1$ hoặc $x=5$.
Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và $y_{CĐ}=y(-1)=-4$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=5$ và $y_{CT}=y(5)=8$.
Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-1}$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
Ta có: $y'=\dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{-2}{(x-1)^2}<0$, với mọi $x\neq1$.
Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số không có cực trị.