Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D$.
- Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên tập $D$ nếu $f(x)\leq M$ với mọi $x\in D$ và tồn tại $x_0\in D$ sao cho $f(x_0)=M$.
Kí hiệu $M=\max_{x\in D}f(x)$ hoặc $M=\max_D f(x)$.
- Số $m$ được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên tập $D$ nếu $f(x)\geq m$ với mọi $x\in D$ và tồn tại $x_0\in D$ sao cho $f(x_0)=m$.
Kí hiệu $m=\min_{x\in D}f(x)$ hoặc $m=\min_D f(x)$.
Chú ý
- Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ (mà không nói "trên tập $D$") thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên tập xác định của hàm số.
- Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập $D$, ta thường lập bảng biến thiên của hàm số trên tập $D$ để kết luận.
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)=\sqrt{1-x^2}$.
Giải
Tập xác định của hàm số là $[-1; 1]$.
Cách 1. Sử dụng định nghĩa.
Ta có:
- $f(x)=\sqrt{1-x^2}\geq 0$; dấu bằng xảy ra khi $1-x^2=0$, tức là khi $x=-1$ hoặc $x=1$.
Do đó $\min_{[-1; 1]}f(x)=f(-1)=f(1)=0$.
- $f(x)=\sqrt{1-x^2}\leq 1$; dấu bằng xảy ra khi $1-x^2=1$, tức là khi $x=0$. Do đó $\max_{[-1; 1]}f(x)=f(0)=1$.
Cách 2. Sử dụng bảng biến thiên.
Với $x\in(-1; 1)$, ta có: $y'=\frac{(1-x^2)'}{2\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}; y'=0\Leftrightarrow x=0$.
Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn $[-1; 1]$:

Từ bảng biến thiên, ta được: $\min_{[-1; 1]}f(x)=f(-1)=f(1)=0; \max_{[-1; 1]}f(x)=f(0)=1$.
Chú ý. Trong thực hành, ta cũng dùng các kí hiệu $\min_D y$, $\max_D y$ để chỉ giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của hàm số $y=f(x)$ trên tập $D$. Do đó, trong Ví dụ 1 ta có thể viết:
$\min_{[-1; 1]}y=y(-1)=y(1)=0; \max_{[-1; 1]}y=y(0)=1$.
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số $y=x-2+\frac{1}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.
Giải
Ta có: $y'=1-\frac{1}{x^2}; y'=0\Leftrightarrow x=1$ (vì $x>0$).
Tính các giới hạn:
$\lim_{x\to 0^+}y=\lim_{x\to 0^+}\left(x-2+\frac{1}{x}\right)=+\infty; \lim_{x\to+\infty}y=\lim_{x\to+\infty}\left(x-2+\frac{1}{x}\right)=+\infty$.
Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $(0; +\infty)$:

Từ bảng biến thiên, ta được: $\min_{(0; +\infty)}y=y(1)=0$; hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng $(0; +\infty)$.

Giả sử $y=f(x)$ là hàm số liên tục trên $[a; b]$ và có đạo hàm trên $(a; b)$, có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn $[a; b]$ mà đạo hàm $f'(x)$ bằng 0.
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$:
1. Tìm các điểm $x_1, x_2, \ldots, x_n\in(a; b)$, tại đó $f'(x)$ bằng 0 hoặc không tồn tại.
2. Tính $f(x_1), f(x_2), \ldots, f(x_n), f(a)$ và $f(b)$.
3. Tìm số lớn nhất $M$ và số nhỏ nhất $m$ trong các số trên. Ta có:
$M=\max_{[a; b]}f(x); m=\min_{[a; b]}f(x)$.
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^4-4x^2+3$ trên đoạn $[0; 4]$.
Giải
Ta có: $y'=4x^3-8x=4x(x^2-2); y'=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\sqrt{2}$ (vì $x\in[0; 4]$);
$y(0)=3; y(4)=195; y(\sqrt{2})=-1$.
Do đó: $\max_{[0; 4]}y=y(4)=195; \min_{[0; 4]}y=y(\sqrt{2})=-1$.
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sin x+\cos x$ trên đoạn $[0; 2\pi]$.
Giải
Ta có: $y'=\cos x-\sin x; y'=0\Leftrightarrow\cos x=\sin x\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}$ hoặc $x=\frac{5\pi}{4}$ (vì $x\in[0; 2\pi]$);
$y(0)=1; y(2\pi)=1; y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}; y\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}$.
Do đó: $\max_{[0; 2\pi]}y=y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}; \min_{[0; 2\pi]}y=y\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}$.