Lý thuyết Nguyên hàm

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $K$ (khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của $\mathbb{R}$).
- Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu $F'(x)=f(x)$ với mọi $x \in K$.
- Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ thì
+ Với mỗi hằng số $C$, hàm số $F(x)+C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$;
+ Mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng $F(x)+C$, với $C$ là hằng số.
Họ tất cả các nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ được kí hiệu $\int f(x)\,dx$ và viết $\int f(x)\,dx=F(x)+C$
Chú ý:
a) Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$.
Bài toán tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ khoảng $K$ thì được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của hàm số đó.
b) Nếu hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên $K$ thì $\int f'(x)\,dx=f(x)+C$.

- $\int 0\,dx=C$
- $\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C \; (a>0, a \neq 1)$
- $\int 1\,dx=x+C$
- $\int \cos x\,dx=\sin x+C$
- $\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \; (\alpha \neq -1)$
- $\int \sin x\,dx=-\cos x+C$
- $\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
- $\int \frac{1}{\cos^2 x}\,dx=\tan x+C$
- $\int e^x\,dx=e^x+C$
- $\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx=-\cot x+C$

Cho các hàm số $f(x), g(x)$ liên tục trên $K$. Khi đó:
- $\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx$, với $k \in \mathbb{R}, k \neq 0$;
- $\int \left[ f(x)+g(x) \right] dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$
- $\int \left[ f(x)-g(x) \right] dx=\int f(x)\,dx-\int g(x)\,dx$