a) Hàm số $y=\sin x$
- Hàm số $y=\sin x$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và có tập giá trị là $[-1;1]$.
- Hàm số $\sin$ là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì $2\pi$.
- Hàm số $\sin$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi;\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi;\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right)$ với $k\in\mathbb{Z}$.
- Đồ thị hàm số $\sin$ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
b) Hàm số $y=\cos x$
- Hàm số $y=\cos x$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và có tập giá trị là $[-1;1]$.
- Hàm số côsin là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì $2\pi$.
- Hàm số côsin đồng biến trên mỗi khoảng $(-\pi+2k\pi;2k\pi)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(2k\pi;\pi+2k\pi)$ với $k\in\mathbb{Z}$.
- Đồ thị hàm số côsin nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng.
c) Hàm số $y=\tan x$
- Hàm số $y=\tan x$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}$ và có tập giá trị là $\mathbb{R}$.
- Hàm số tang là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì $\pi$.
- Hàm số tang đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2}+k\pi;\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right)$ với $k\in\mathbb{Z}$.
- Đồ thị hàm số tang nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
d) Hàm số $y=\cot x$
- Hàm số $y=\cot x$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus\left\{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\}$ và có tập giá trị $\mathbb{R}$.
- Hàm số côtang là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì $\pi$.
- Hàm số côtang nghịch biến trên các khoảng $(k\pi;\pi+k\pi)$ với $k\in\mathbb{Z}$.
- Đồ thị hàm số côtang nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
2. Phương trình lượng giác
a) Phương trình $\sin x=m$
- Nếu $\lvert m\rvert>1$ thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu $\lvert m\rvert\leq1$ thì tồn tại duy nhất số thực $\alpha\in\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ thoả mãn $\sin\alpha=m$.
Khi đó $\sin x=m$
$\Leftrightarrow\sin x=\sin\alpha\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\alpha+2k\pi\\x=\pi-\alpha+2k\pi\end{array}\right.\quad(k\in\mathbb{Z})$.
Chú ý
- Khi $m\in\{-1;0;1\}$ công thức nghiệm trên được viết gọn lại là:
- $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi$.
- $\sin x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$.
- $\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$.
- Nếu góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trên trở thành:
$\sin x=\sin\alpha^\circ\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\alpha^\circ+k360^\circ\\x=180^\circ-\alpha^\circ+k360^\circ\end{array}\right.\quad(k\in\mathbb{Z})$
- Nếu $u(x)$ và $v(x)$ là hai biểu thức của biến $x$ thì
$\sin u(x)=\sin v(x)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}u(x)=v(x)+2k\pi\\u(x)=\pi-v(x)+2k\pi\end{array}\right.\quad(k\in\mathbb{Z})$
b) Phương trình $\cos x=m$
- Nếu $\lvert m\rvert>1$ thì phương trình $\cos x=m$ vô nghiệm.
- Nếu $\lvert m\rvert\leq1$ thì tồn tại duy nhất $\alpha\in[0;\pi]$ thoả mãn $\cos\alpha=m$.
Khi đó $\cos x=m$
$\Leftrightarrow\cos x=\cos\alpha\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\alpha+2k\pi\\x=-\alpha+2k\pi\end{array}\right.\quad(k\in\mathbb{Z})$.
Chú ý
- Khi $m\in\{-1;0;1\}$ công thức nghiệm trên được viết gọn lại là:
- $\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$.
- $\cos x=1\Leftrightarrow x=2k\pi$.
- $\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+2k\pi$.
- Nếu góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trên trở thành:
$\cos x=\cos\alpha^\circ\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\alpha^\circ+k360^\circ\\x=-\alpha^\circ+k360^\circ\end{array}\right.\quad(k\in\mathbb{Z})$
- Nếu $u(x)$ và $v(x)$ là hai biểu thức của biến $x$ thì
$\cos u(x)=\cos v(x)\Leftrightarrow u(x)=\pm v(x)+2k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})$
c) Phương trình $\tan x=m$
- Phương trình $\tan x=m$ có nghiệm với mọi $m$.
- Tồn tại duy nhất $\alpha\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$ thoả mãn $\tan\alpha=m$.
Khi đó $\tan x=m\Leftrightarrow\tan x=\tan\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})$.
Chú ý. Nếu góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trên trở thành:
$\tan x=\tan\alpha^\circ\Leftrightarrow x=\alpha^\circ+k180^\circ\quad(k\in\mathbb{Z})$
d) Phương trình $\cot x=m$
- Phương trình $\cot x=m$ có nghiệm với mọi $m$.
- Tồn tại duy nhất $\alpha\in(0;\pi)$ thoả mãn $\cot\alpha=m$.
Khi đó $\cot x=m\Leftrightarrow\cot x=\cot\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})$.
Chú ý. Nếu góc $\alpha$ được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trên trở thành:
$\cot x=\cot\alpha^\circ\Leftrightarrow x=\alpha^\circ+k180^\circ\quad(k\in\mathbb{Z})$
