Lý thuyết Ôn tập Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân 11

Một hàm số $u$ xác định trên tập hợp các số nguyên dương $\mathbb{N}^*$ được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số). Kí hiệu dãy số là $u(n)$.
Dạng khai triển của dãy số $u(n)$ là $u_1,u_2,\ldots,u_n,\ldots$, trong đó $u_n=u(n)$ được gọi là số hạng thứ $n$ (hay còn gọi là số hạng tổng quát) của dãy số.

- Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số tăng nếu $n\in\mathbb{N}^*,u_n<u_{n+1}$.
- Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số giảm nếu $n\in\mathbb{N}^*,u_n>u_{n+1}$.

Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số $d$ không đổi, nghĩa là: $\left(u_n\right)$ là cấp số cộng $u_n=u_{n-1}+d,n\geq 2$. Số $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Nếu $\left(u_n\right)$ là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là: $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2},k\geq 2$.
- Ba số $a,b,c$ (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng nếu $a+c=2b$.
- Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu tiên $u_1$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát $u_n$ của nó được xác định bởi công thức: $u_n=u_1+(n-1)d$.
- Giả sử $\left(u_n\right)$ là một cấp số cộng có công sai $d$. Gọi $S_n=\sum_{k=1}^n u_k=u_1+u_2+\cdots+u_n$
Khi đó: $S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n\left[2u_1+(n-1)d\right]}{2}$.

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số $q$ không đổi, nghĩa là: $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân $u_n=u_{n-1}\cdot q,n\geq 2$. Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.

- Nếu $\left(u_n\right)$ là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là: $u_k^2=u_{k-1}\cdot u_{k+1},k\geq 2$.
- Nếu $a,b,c$ là ba số khác 0, thì ba số $a,b,c$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi $b^2=ac$.
- Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu tiên $u_1$ và công bội $q\neq 0$ thì số hạng tổng quát $u_n$ của nó được xác định bởi công thức: $u_n=u_1\cdot q^{n-1},n\geq 2$.
- Giả sử $\left(u_n\right)$ là một cấp số nhân có công bội $q$. Gọi $S_n=\sum_{k=1}^n u_k=u_1+u_2+\cdots+u_n$. Khi đó:
Nếu $q=1$ thì $S_n=nu_1$. Nếu $q\neq 1$ thì $S_n=u_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$.