Lý thuyết Ôn tập Giới hạn 11
Ôn tập giới hạn — Kiến thức cần nhớ
1. Giới hạn dãy số
a) Một số giới hạn thường dùng
- $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0, \forall k \in \mathbb{N}^*;$
- $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0, \forall |q| < 1;$
- Nếu $\left| u_n \right| \leq v_n, \forall n \geq 1$ và $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0$ thì $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.
Ta nói dãy số $\left( u_n \right)$ có giới hạn là số thực $a$ khi $n$ dần tới dương vô cực nếu $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( u_n - a \right) = 0$, kí hiệu $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = a$ hay $u_n \to a$ khi $n \to +\infty$.
b) Giới hạn vô cực của dãy số
- $\lim\limits_{n \to +\infty} n^k = +\infty$, với $k$ là số nguyên dương;
- $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$, với $q > 1$.
c) Một số quy tắc tính giới hạn dãy số
- Nếu $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = a$ và $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = b$ thì:
- $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( u_n + v_n \right) = a + b;$
- $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( u_n - v_n \right) = a - b$;
- $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( u_n \cdot v_n \right) = a\cdot b;$
- $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = \frac{a}{b} (b \neq 0)$.
- Nếu $u_n \geq 0$ với mọi $n$ và $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = a$ thì $a \geq 0$ và $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{u_n} = \sqrt{a}$.
d) Cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn $\left( u_n \right)$ có công bội $q$ với $|q| < 1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng vô hạn của các số hạng trong cấp số nhân lùi vô hạn được tính bởi công thức:
$S = u_1 + u_2 + \ldots + u_n + \ldots = \frac{u_1}{1-q} (|q| < 1)$
- Nếu $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = a$ và $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$ (hoặc $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty$) thì $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = 0$.
- Nếu $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = a > 0, \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0$ và $v_n > 0$ với mọi $n$ thì $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = +\infty$.
- Nếu $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ và $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = a > 0$ thì $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n v_n = +\infty$.
- $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0, \forall k \in \mathbb{N}^*;$
- $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = 0, \forall |q| < 1;$
- Nếu $\left| u_n \right| \leq v_n, \forall n \geq 1$ và $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0$ thì $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.
Ta nói dãy số $\left( u_n \right)$ có giới hạn là số thực $a$ khi $n$ dần tới dương vô cực nếu $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( u_n - a \right) = 0$, kí hiệu $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = a$ hay $u_n \to a$ khi $n \to +\infty$.
b) Giới hạn vô cực của dãy số
- $\lim\limits_{n \to +\infty} n^k = +\infty$, với $k$ là số nguyên dương;
- $\lim\limits_{n \to +\infty} q^n = +\infty$, với $q > 1$.
c) Một số quy tắc tính giới hạn dãy số
- Nếu $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = a$ và $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = b$ thì:
- $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( u_n + v_n \right) = a + b;$
- $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( u_n - v_n \right) = a - b$;
- $\lim\limits_{n \to +\infty} \left( u_n \cdot v_n \right) = a\cdot b;$
- $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = \frac{a}{b} (b \neq 0)$.
- Nếu $u_n \geq 0$ với mọi $n$ và $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = a$ thì $a \geq 0$ và $\lim\limits_{n \to +\infty} \sqrt{u_n} = \sqrt{a}$.
d) Cấp số nhân lùi vô hạn
Cấp số nhân vô hạn $\left( u_n \right)$ có công bội $q$ với $|q| < 1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng vô hạn của các số hạng trong cấp số nhân lùi vô hạn được tính bởi công thức:
$S = u_1 + u_2 + \ldots + u_n + \ldots = \frac{u_1}{1-q} (|q| < 1)$
- Nếu $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = a$ và $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = +\infty$ (hoặc $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = -\infty$) thì $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = 0$.
- Nếu $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = a > 0, \lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0$ và $v_n > 0$ với mọi $n$ thì $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = +\infty$.
- Nếu $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ và $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = a > 0$ thì $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n v_n = +\infty$.
2. Giới hạn của hàm số
Một số quy tắc tính giới hạn hàm số
a) Giả sử $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = L$ và $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = M, (L, M \in \mathbb{R})$. Khi đó:
- $\lim\limits_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = L + M$;
- $\lim\limits_{x \to x_0} [f(x) - g(x)] = L - M$;
- $\lim\limits_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$. Đặc biệt, nếu $c$ là một hằng số thì $\lim\limits_{x \to x_0} [c \cdot f(x)] = cL$;
- Nếu $M \neq 0$ thì $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$.
Chú ý. Những quy tắc trên vẫn đúng khi thay $x \to x_0$ bởi $x \to +\infty$ hoặc $x \to -\infty$.
b) Với mọi số nguyên dương $k, n$, ta có:
- $\lim\limits_{x \to +\infty} x^k = +\infty$;
- $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x^k} = 0;$
- $\lim\limits_{x \to -\infty} x^k = \left\{ \begin{array}{l} +\infty, k = 2n \\ -\infty, k = 2n+1; \end{array} \right.$
- $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{x^k} = 0$.
c) Giả sử $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = L$. Khi đó:
- $\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = |L|;$
- $\lim\limits_{x \to x_0} \sqrt[a]{f(x)} = \sqrt[a]{L}$ với $a$ là số lẻ.
- Nếu $f(x) \geq 0$ với mọi $x \in J \setminus \left\{ x_0 \right\}$, trong đó $J$ là một khoảng nào đó chứa $x_0$, thì $L \geq 0$ và $\lim\limits_{x \to x_0} \sqrt[a]{f(x)} = \sqrt[a]{L}$ với $a$ là số chẵn.
a) Giả sử $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = L$ và $\lim\limits_{x \to x_0} g(x) = M, (L, M \in \mathbb{R})$. Khi đó:
- $\lim\limits_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] = L + M$;
- $\lim\limits_{x \to x_0} [f(x) - g(x)] = L - M$;
- $\lim\limits_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$. Đặc biệt, nếu $c$ là một hằng số thì $\lim\limits_{x \to x_0} [c \cdot f(x)] = cL$;
- Nếu $M \neq 0$ thì $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$.
Chú ý. Những quy tắc trên vẫn đúng khi thay $x \to x_0$ bởi $x \to +\infty$ hoặc $x \to -\infty$.
b) Với mọi số nguyên dương $k, n$, ta có:
- $\lim\limits_{x \to +\infty} x^k = +\infty$;
- $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x^k} = 0;$
- $\lim\limits_{x \to -\infty} x^k = \left\{ \begin{array}{l} +\infty, k = 2n \\ -\infty, k = 2n+1; \end{array} \right.$
- $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{x^k} = 0$.
c) Giả sử $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = L$. Khi đó:
- $\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = |L|;$
- $\lim\limits_{x \to x_0} \sqrt[a]{f(x)} = \sqrt[a]{L}$ với $a$ là số lẻ.
- Nếu $f(x) \geq 0$ với mọi $x \in J \setminus \left\{ x_0 \right\}$, trong đó $J$ là một khoảng nào đó chứa $x_0$, thì $L \geq 0$ và $\lim\limits_{x \to x_0} \sqrt[a]{f(x)} = \sqrt[a]{L}$ với $a$ là số chẵn.
3. Hàm số liên tục
a) Định nghĩa.
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $(a;b)$ chứa điểm $x_0$. Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f\left( x_0 \right)$.
- Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục trên $(a;b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
- Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục trên $[a;b]$ nếu nó liên tục trên $(a;b)$ và $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a), \lim\limits_{x \to b^-} f(x) = f(b)$.
Về tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản đã biết, ta có:
- Hàm số đa thức và các hàm số $y = \sin x, y = \cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
- Các hàm số $y = \tan x, y = \cot x, y = \sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.
b) Một số tính chất cơ bản
Giả sử hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:
- Các hàm số $y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x)$ và $y = f(x)g(x)$ liên tục tại $x_0$;
- Hàm số $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại $x_0$ nếu $g\left( x_0 \right) \neq 0$.
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $(a;b)$ chứa điểm $x_0$. Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f\left( x_0 \right)$.
- Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục trên $(a;b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
- Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục trên $[a;b]$ nếu nó liên tục trên $(a;b)$ và $\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = f(a), \lim\limits_{x \to b^-} f(x) = f(b)$.
Về tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản đã biết, ta có:
- Hàm số đa thức và các hàm số $y = \sin x, y = \cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.
- Các hàm số $y = \tan x, y = \cot x, y = \sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.
b) Một số tính chất cơ bản
Giả sử hai hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:
- Các hàm số $y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x)$ và $y = f(x)g(x)$ liên tục tại $x_0$;
- Hàm số $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại $x_0$ nếu $g\left( x_0 \right) \neq 0$.