Lý thuyết Ôn tập Lôgarit 11

Luỹ thừa với số mũ thực (của một số thực dương) có các tính chất như luỹ thừa với số mũ nguyên. Cụ thể với $a, b \in \mathbb{R}, a > 0, b > 0$ và $x, y \in \mathbb{R}$ ta có
$a^x \cdot a^y = a^{x+y};\quad \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y};\quad \left( a^x \right)^y = a^{xy};\quad a^x b^x = (ab)^x;\quad \frac{a^x}{b^x} = \left( \frac{a}{b} \right)^x$

Cho $a$ là một số thực dương khác 1 và $M$ là một số thực dương. Số thực $\alpha$ thoả mãn $a^{\alpha} = M$ gọi là lôgarit cơ số $a$ của $M$, kí hiệu là $\log_a M$. Như vậy $\alpha = \log_a M \Leftrightarrow a^{\alpha} = M$.
Chú ý. Không có lôgarit của số âm và lôgarit của số 0. Cơ số của lôgarit phải là số dương và khác 1.

- Với $0 < a \neq 1, M > 0$ và $\alpha$ là số thực tuỳ ý, ta có
$\log_a 1 = 0;\quad \log_a a = 1;\quad a^{\log_a M} = M;\quad \log_a a^{\alpha} = \alpha$
- Quy tắc tính lôgarit: Cho $0 < a \neq 1$ và $M, N > 0$ đồng thời $\alpha$ là số thực tuỳ ý, ta có
$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N;\quad \log_a \left( \frac{M}{N} \right) = \log_a M - \log_a N;\quad \log_a M^{\alpha} = \alpha \log_a M$
Đặc biệt $\log_a \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n} \log_a M$.
- Đổi cơ số: Với các cơ số lôgarit $a, b$ bất kì $0 < a, b \neq 1$ và $M$ là số thực dương bất kì ta có $\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}$.
Công thức đổi cơ số đôi khi còn được viết dưới dạng: $\log_b a \log_a M = \log_b M$.
Đặc biệt, với $0 < a, b \neq 1$ ta có: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$.
Từ công thức đổi cơ số ta suy ra: $\log_{a^{\alpha}} b = \frac{1}{\alpha} \log_a b$.
Đặc biệt: $\log_{\sqrt[n]{a}} b = n \log_a b$.

- Cho $a$ là một số thực dương khác 1. Hàm số $y = a^x$ gọi là hàm số mũ cơ số $a$.
- Hàm số mũ $y = a^x$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và tập giá trị $(0; +\infty)$. Hàm số $y = a^x$ đồng biến khi $a > 1$ và nghịch biến khi $a < 1$. Hàm số $y = a^x$ liên tục trên $\mathbb{R}$, có đồ thị đi qua điểm $(0;1), (1;a)$ và đồ thị hàm số mũ luôn nằm phía trên trục $Ox$.

Đồ thị hàm số $y = a^x$ khi $a > 1$

Đồ thị hàm số $y = a^x$ khi $a < 1$

- Cho $a$ là một số thực dương khác 1. Hàm số $y = \log_a x$ gọi là hàm số lôgarit cơ số $a$.
- Hàm số lôgarit $y = \log_a x$ có tập xác định $(0; +\infty)$ và tập giá trị $\mathbb{R}$.
Hàm số $y = \log_a x$ đồng biến khi $a > 1$ và nghịch biến khi $a < 1$.
Hàm số $y = \log_a x$ liên tục trên $(0; +\infty)$, có đồ thị đi qua điểm $(1;0), (a;1)$ và đồ thị hàm số lôgarit luôn nằm phía bên phải trục $Oy$.

Đồ thị hàm số $y = \log_a x$ khi $a > 1$

Đồ thị hàm số $y = \log_a x$ khi $a < 1$

Phương trình mũ:
Với $a > 0, a \neq 1$ thì:
- $a^{f(x)} = b \Leftrightarrow f(x) = \log_a b$ với $b > 0$
- $a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$.
Phương trình lôgarit:
Với $a > 0, a \neq 1$ thì:
- $\log_a f(x) = b \Leftrightarrow f(x) = a^b$
- $\log_a f(x) = \log_a g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \text{ hoặc } g(x) > 0. \end{array} \right.$

Với $a > 0, a \neq 1$ thì:
* Xét bất phương trình: $a^{f(x)} > b$.
- Nếu $b \leq 0$ thì tập nghiệm của bất phương trình là tập xác định của $f(x)$;
- Nếu $b > 0, a > 1$ thì bất phương trình đưa về: $f(x) > \log_a b$;
- Nếu $b > 0, 0 < a < 1$ thì bất phương trình đưa về: $f(x) < \log_a b$.
* Xét bất phương trình: $a^{f(x)} > a^{g(x)}$.
- Nếu $a > 1$ thì bất phương trình đưa về: $f(x) > g(x)$;
- Nếu $0 < a < 1$ thì bất phương trình đưa về: $f(x) < g(x)$.
Các bất phương trình mũ khác cùng loại được giải tương tự.

Với $a > 0, a \neq 1$ thì:
* Xét bất phương trình: $\log_a f(x) > b$.
- Nếu $a > 1$ thì bất phương trình đưa về: $f(x) > a^b$;
- Nếu $0 < a < 1$ thì bất phương trình đưa về: $0 < f(x) < a^b$.
* Xét bất phương trình: $\log_a f(x) > \log_a g(x)$.
- Nếu $a > 1$ thì bất phương trình đưa về: $f(x) > g(x) > 0$;
- Nếu $0 < a < 1$ thì bất phương trình đưa về: $0 < f(x) < g(x)$.
Các bất phương trình lôgarit khác cùng loại được giải tương tự.