Lý thuyết Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11

Dấu hiệu 1. Hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung (sử dụng kiến thức hình học phẳng để chứng minh).
$\left\{ \begin{array}{l} a \subset (P) \\ b \subset (P) \\ a \cap b \text{ không có điểm chung} \end{array} \right. \Rightarrow a//b$

Dấu hiệu 2. Hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với ít nhất một trong hai đường thẳng ấy.
$\left\{ \begin{array}{l} b \subset (P), c \subset (Q) \\ b//c \\ (P) \cap (Q) = a \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a//b \\ a//c \end{array} \right.$

Dấu hiệu 3. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
$\left\{ \begin{array}{l} a//b \\ c//b \end{array} \right. \Rightarrow a//c$

Dấu hiệu 4. Nếu đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ thì mọi mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ và cắt $(P)$ có giao tuyến song song với $a$.
$\left\{ \begin{array}{l} a//(P) \\ a \subset (Q) \\ (Q) \cap (P) = b \end{array} \right. \Rightarrow a//b$

Dấu hiệu 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.
$\left\{ \begin{array}{l} a//(P) \\ a//(Q) \\ (P) \cap (Q) = b \end{array} \right. \Rightarrow a//b$

Dấu hiệu 6. Hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau.
$\left\{ \begin{array}{l} (P)//(Q) \\ (R) \cap (P) = a \\ (R) \cap (Q) = b \end{array} \right. \Rightarrow a//b$

Dấu hiệu 7. Ba mặt phẳng phân biệt, đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến và hai trong ba giao tuyến ấy song song với nhau thì ba giao tuyến đó song song.
$\left\{ \begin{array}{l} (P) \cap (Q) = a \\ (P) \cap (R) = b \\ (Q) \cap (R) = c \\ \left[ \begin{array}{l} b//c \\ b//a \\ a//c \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow a//b//c$

Dấu hiệu 8. $\left\{ \begin{array}{l} a//(P) \\ a' \text{ là hình chiếu của } a \text{ trên } (P) \text{ theo phương } l \end{array} \right. \Rightarrow a//a'$.

Dấu hiệu 9. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau.
$\left\{ \begin{array}{l} a \perp (P) \\ b \perp (P) \end{array} \right. \Rightarrow a//b$

Dấu hiệu 10. Nếu hai đường thẳng phân biệt có hai vectơ chỉ phương cùng phương thì chúng song song với nhau.
$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{AB} \text{ cùng phương với } \overrightarrow{CD} \\ \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{CD} \; (k \in \mathbb{R}) \end{array} \right. \Rightarrow a//b$.

Dấu hiệu 11. $\left\{ \begin{array}{l} a//b \\ b \text{ và } l \text{ không song song} \\ a', b' \text{ là hình chiếu của } a, b \text{ theo phương } l \\ a' \subset (P), b' \subset (P) \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} a'//b' \\ a' \text{ trùng } b' \end{array} \right.$

Dấu hiệu 1. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không có điểm chung thì chúng song song với nhau: $a \cap (P) = \varnothing \Leftrightarrow a//(P)$

Dấu hiệu 2. $\left\{ \begin{array}{l} a \not\subset (P) \\ a//b \\ b \subset (P) \end{array} \right. \Rightarrow a//(P)$.

Dấu hiệu 3.
$\left\{ \begin{array}{l} a \subset (P) \\ (P)//(Q) \end{array} \right. \Rightarrow a//(Q)$

Dấu hiệu 4. Nếu ba đường thẳng chắn trên hai cát tuyến chéo nhau những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đường thẳng đó cùng song song với một mặt phẳng (mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai trong ba đường thẳng trên).
$\left\{ \begin{array}{l} m, n \text{ chéo nhau} \\ a \cap m = \{A\}, a \cap n = \{A'\} \\ b \cap m = \{B\}, b \cap n = \{B'\} \\ c \cap m = \{C\}, c \cap n = \{C'\} \\ b', c' \text{ lần lượt là hình chiếu của } b, c \text{ trên } (P) \\ \frac{AB}{AC} = \frac{A'B'}{A'C'} \text{ hoặc } \frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a//(P) \\ b//(P) \\ c//(P). \end{array} \right.$

Dấu hiệu 5. $\left\{ \begin{array}{l} a//b \\ a//(P) \\ b \not\subset (P) \end{array} \right. \Rightarrow b//(P).$

Dấu hiệu 6. $\left\{ \begin{array}{l} a//(P) \\ (P)//(Q) \\ a \not\subset (Q) \end{array} \right. \Rightarrow a//(Q).$

Dấu hiệu 7. $\left\{ \begin{array}{l} a \perp b \\ b \perp (P) \\ a \not\subset (P) \end{array} \right. \Rightarrow a//(P).$

Dấu hiệu 8. $\left\{ \begin{array}{l} a \perp (Q) \\ (P) \perp (Q) \\ a \not\subset (P) \end{array} \right. \Rightarrow a//(P).$

Dấu hiệu 9. Nếu tích vô hướng của vectơ chỉ phương của đường thẳng $a$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ có giá trị bằng 0 và đường thẳng $a$ không nằm trên $(P)$ thì $a$ song song với $(P)$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n_{(P)}} = 0 \Rightarrow a//(P).$

Dấu hiệu 10. $\left\{ \begin{array}{l} \widehat{(a,(P))} = 0 \\ a \not\subset (P) \end{array} \right. \Rightarrow a//(P)$.

Dấu hiệu 1. Hai mặt phẳng không có điểm chung thì song song.
$(P) \cap (Q) = \varnothing \Leftrightarrow (P)//(Q)$

Dấu hiệu 2. Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và chúng song song với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song.
$\left\{ \begin{array}{l} a \subset (Q), b \subset (Q) \\ a \cap b = \{A\} \\ a//(P), b//(P) \end{array} \right. \Rightarrow (P)//(Q)$

Dấu hiệu 3. Nếu hai đường thẳng cắt nhau của một mặt phẳng lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó song song.
$\left\{ \begin{array}{l} a \subset (P), b \subset (P) \\ a \cap b = \{A\} \\ a//a'; b//b' \\ a' \subset (Q), b' \subset (Q) \end{array} \right. \Rightarrow (P)//(Q)$

Dấu hiệu 4. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
$\left\{ \begin{array}{l} (P)//(R) \\ (Q)//(R) \\ (P) \neq (Q) \end{array} \right. \Rightarrow (P)//(Q)$

Dấu hiệu 5. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
$\left\{ \begin{array}{l} (P) \perp a \\ (Q) \perp a \\ (P) \neq (Q) \end{array} \right. \Rightarrow (P)//(Q)$

Dấu hiệu 6. Hai mặt phẳng phân biệt có hai vectơ pháp tuyến cùng phương thì chúng song song.
$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{n_{(P)}} = k\overrightarrow{n_{(Q)}} \; (k \in \mathbb{R}) \\ (P) \neq (Q) \end{array} \right. \Rightarrow (P)//(Q)$

Dấu hiệu 7. Hai mặt phẳng phân biệt có góc tạo bởi chúng bằng 0 thì hai mặt phẳng đó song song.
$\left\{ \begin{array}{l} \widehat{((P),(Q))} = 0 \\ (P) \neq (Q) \end{array} \right. \Rightarrow (P)//(Q)$

Chú ý. Góc giữa đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ cùng đi qua một điểm $O$ và lần lượt song song với $a$ và $b$.
$\widehat{(a,b)} = \widehat{(a',b')} = \alpha \in \left[ 0^{\circ}; 90^{\circ} \right]$.

Dấu hiệu 1. Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^{\circ}$.
$a \perp b \Leftrightarrow \widehat{(a,b)} = 90^{\circ}$

Dấu hiệu 2. $\left\{ \begin{array}{l} a \perp (P) \\ b \subset (P) \end{array} \right. \Rightarrow a \perp b$.

Dấu hiệu 3. Nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng bằng 0 thì hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0 \Leftrightarrow a \perp b.$

Dấu hiệu 4. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
$\left\{ \begin{array}{l} a \perp c \\ c//b \end{array} \right. \Rightarrow a \perp b$

Dấu hiệu 5. (Định lí ba đường vuông góc) Cho đường thẳng $a$ không vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$. Khi đó, điều kiện cần và đủ để $b$ vuông góc với $a$ là $b$ vuông góc với hình chiếu $a'$ của $a$ trên $(P)$.

Dấu hiệu 6. Nếu đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau thì sử dụng các kiến thức hình học phẳng về chứng minh hai đường thẳng vuông góc để chứng minh $a$ vuông góc với $b$.

Dấu hiệu 1. Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với hai đường thẳng $b,c$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_b}, \overrightarrow{u_c}$ không cùng phương mà mỗi đường thẳng này nằm trong mặt phẳng $(P)$ hoặc song song với $(P)$ thì $a$ vuông góc với $(P)$.
$\left\{ \begin{array}{l} a \perp b, a \perp c \\ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} b \subset (P), c \subset (P) \\ b \cap c = \{A\} \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} b//(P), c//(P) \\ \overrightarrow{u_b}, \overrightarrow{u_c} \text{ không cùng phương} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow a \perp (P)$

Dấu hiệu 2. Nếu một đường thẳng song song với một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng đã cho.
$\left\{ \begin{array}{l} a//b \\ b \perp (P) \end{array} \right. \Rightarrow a \perp (P)$

Dấu hiệu 3. Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
$\left\{ \begin{array}{l} a \perp (Q) \\ (P)//(Q) \end{array} \right. \Rightarrow a \perp (P)$

Dấu hiệu 4. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
$\left\{ \begin{array}{l} (P) \cap (Q) = a \\ (P) \perp (R) \\ (Q) \perp (R) \end{array} \right. \Rightarrow a \perp (R)$

Dấu hiệu 5. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
$\left\{ \begin{array}{l} (P) \perp (Q) \\ (P) \cap (Q) = b \\ a \perp b \\ a \subset (Q) \end{array} \right. \Rightarrow a \perp (P)$

Dấu hiệu 6. Nếu góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng $90^{\circ}$ thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng đã cho.
$\widehat{(a,(P))} = 90^{\circ} \Leftrightarrow a \perp (P)$

Chú ý. $a'$ là hình chiếu vuông góc của $a$ trên $(P)$.
$\widehat{(a,(P))} = \widehat{(a,a')} = \alpha \in \left[ 0^{\circ}; 90^{\circ} \right]$
Dấu hiệu 7. Nếu vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
$a \perp (P) \Leftrightarrow \overrightarrow{n_{(P)}} = k\overrightarrow{u_a}, k \in \mathbb{R}.$

Chú ý. Nếu đường thẳng $a$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì $a$ vuông góc với đường thẳng nằm trong $(P)$.
$a \perp (P) \Rightarrow a \perp b, \forall b \subset (P)$

Dấu hiệu 1. Mặt phẳng $(P)$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ nếu trong $(P)$ tồn tại đường thẳng $a$ vuông góc với $(Q)$.
$\left\{ \begin{array}{l} a \subset (P) \\ a \perp (Q) \end{array} \right. \Rightarrow (P) \perp (Q)$

Dấu hiệu 2. Hai mặt phẳng cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì hai mặt phẳng đã cho vuông góc với nhau.
$[P,d,Q] = 90^{\circ} \Leftrightarrow (P) \perp (Q), (P) \cap (Q) = d$

Dấu hiệu 3. Nếu góc phẳng nhị diện của hai mặt phẳng bằng $90^{\circ}$ thì hai mặt phẳng đó vuông góc.
$\left\{ \begin{array}{l} (P) \cap (Q) = d, O \in d \\ Ox \perp d, Ox \subset (Q) \\ Oy \perp d, Oy \subset (P) \\ \text{Góc phẳng nhị diện } \widehat{xOy} = 90^{\circ} \end{array} \right. \Rightarrow (P) \perp (Q)$.

Dấu hiệu 4. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.
$\left\{ \begin{array}{l} a \perp (P), b \perp (Q) \\ \widehat{((P),(Q))} = \widehat{(a,b)} \in \left[ 0^{\circ}; 90^{\circ} \right] \end{array} \right.$
Khi đó $(P) \perp (Q) \Leftrightarrow \widehat{(a,b)} = 90^{\circ}$.

Dấu hiệu 5. $\left\{ \begin{array}{l} a//(P) \\ a \perp (Q) \end{array} \right. \Rightarrow (P) \perp (Q)$.

Dấu hiệu 6. Nếu một mặt phẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt phẳng còn lại.
$\left\{ \begin{array}{l} (P)//(R) \\ (Q) \perp (R) \end{array} \right. \Rightarrow (Q) \perp (P)$

Dấu hiệu 7. Nếu hai vectơ pháp tuyến tương ứng của hai mặt phẳng có tích vô hướng bằng 0 thì hai mặt phẳng đó vuông góc.
$\overrightarrow{n_{(P)}} \cdot \overrightarrow{n_{(Q)}} = 0 \Leftrightarrow (P) \perp (Q)$

$d(A,a) = \left[ \begin{array}{l} AH \\ \frac{\left| \left[ \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{u_a} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u_a} \right|}, \forall B \in a \end{array} \right.$

$d(A,(P)) = \left[ \begin{array}{l} AH \\ \frac{\left| ax_A + by_A + cz_A + d \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}, \text{ với } (P): ax + by + cz + d = 0 \\ \frac{3V_{\text{hình chóp đỉnh } A}}{S_{\text{đáy}}}, \text{ với hình chóp đỉnh } A \text{ có đáy thuộc } (P) \\ \frac{V_{\text{lăng trụ}}}{S_{\text{đáy}}}, \text{ với lăng trụ có } A \text{ thuộc một đáy và đáy còn lại thuộc } (P) \end{array} \right.$
Chú ý
(i) Hình chóp $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc, khi đó
$d(O,(ABC)) = OH$ và $\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2}$

(ii) Cho đường thẳng $a$ cắt $(P)$ tại $I$.
Khi đó: $\frac{d(A,(P))}{d(B,(P))} = \frac{AI}{BI}, \forall A, B \in a$

+ Hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng
- Nếu hai đường thẳng cắt nhau, vuông góc, trùng nhau thì khoảng cách giữa chúng bằng 0;
- Nếu hai đường thẳng song song:
$d(a,b) = d(M,b) = MH$, với mọi điểm $M$ thuộc đường thẳng $a$.
+ Hai đường thẳng chéo nhau
Cách 1. Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Giả sử đường thẳng $c$ vuông góc với cả $a$ và $b$, đồng thời cắt cả hai đường thẳng $a,b$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Khi đó $PQ$ gọi là đoạn vuông góc chung của $a$ và $b$ (còn $c$ gọi là đường vuông góc chung).
$\left\{ \begin{array}{l} a, b \text{ chéo nhau} \\ PQ \perp a \text{ tại } P \\ PQ \perp b \text{ tại } Q \end{array} \right. \Rightarrow d(a,b) = PQ$

Cách 2.
- Dựng $mp(P)$ chứa $a$, vuông góc với $b$ tại $A$.
- Trong $(P)$ dựng $AH \perp a$ tại $H$.
Khi đó độ dài $AH$ là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$.

Cách 3.
- Dựng $mp(P)$ vuông góc với $a$ tại $A$. Giả sử $b \cap (P)$ tại $I$.
- Dựng hình chiếu vuông góc của $b$ trên $(P)$ là $b'$.
- Trong $(P)$ kẻ $AH \perp b'$ tại $H$.
- Từ $H$ kẻ $HB//a$, cắt $b$ tại $B$.
- Từ $B$ kẻ $BC//AH, C \in a$.
Khi đó $BC$ chính là đoạn vuông góc chung của $a$ và $b$.

Cách 4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.
$\left\{ \begin{array}{l} a, b \text{ chéo nhau} \\ b \subset (P), a//(P) \end{array} \right. \Rightarrow d(a,b) = d(a,(P))$.

Chú ý. Có thể lấy một điểm $A$ bất kì thuộc $b$, từ $A$ dựng đường thẳng $a'//a$, khi đó mặt phẳng $(P) = \left( a', b \right)$. Dựng $AH \perp a$ tại $H$ thì $AH$ chính là đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$.
$d(a,b) = d(a,(P)) = AH = d(M,(P))$, với $\forall M \in a$.
Cách 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
$\left\{ \begin{array}{l} a, b \text{ chéo nhau} \\ a \subset (P), b \subset (Q) \\ (P)//(Q) \end{array} \right. \Rightarrow d(a,b) = d((P),(Q)) = d(M,(Q)), \forall M \in (P)$

Cách 6. Áp dụng công thức giải tích không gian.
$d(a,b) = \frac{\left| \left[ \overrightarrow{u_a}, \overrightarrow{u_b} \right] \cdot \overrightarrow{AB} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{u_a}, \overrightarrow{u_b} \right] \right|}, \forall A \in a, \forall B \in b.$

- Đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ có điểm chung: $\left[ \begin{array}{l} a \cap (P) = \{A\} \\ a \perp (P) \text{ tại } A \\ a \subset (P) \end{array} \right. \Rightarrow d(a,(P)) = 0$.
- Đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ không có điểm chung:
$a//(P) \Rightarrow d(a,(P)) = d(A,(P)) = AH, \forall A \in a$

- Hai mặt phẳng có điểm chung: $\left[ \begin{array}{l} (P) \cap (Q) = a \\ (P) \perp (Q) \\ (P) \equiv (Q) \end{array} \right. \Rightarrow d((P),(Q)) = 0$.
- Hai mặt phẳng không có điểm chung: $(P)//(Q) \Rightarrow d((P),(Q)) = d(A,(Q)) = AH, \forall A \in (P)$.

- Góc giữa hai đường thẳng đồng phẳng: Sử dụng kiến thức hình học phẳng để xác định góc.
- Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cách 1. Cho $a,b$ là hai đường thẳng chéo nhau.

Lấy điểm $A$ bất kì trên $b$, từ $A$ dựng đường thẳng $a'//a$, khi đó:
$\widehat{(a,b)} = \widehat{(a',b)} = \alpha \in \left[ 0^{\circ}; 90^{\circ} \right]$
Cách 2. Cho $a,b$ là hai đường thẳng chéo nhau.
Nếu $\alpha = \widehat{(a,b)}$ thì $\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_a}, \overrightarrow{u_b} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{u_a} \cdot \overrightarrow{u_b} \right|}{\left| \overrightarrow{u_a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{u_b} \right|}$.

- Đường thẳng $a$ song song hoặc thuộc mặt phẳng $(P)$: $\widehat{(a,(P))} = 0^{\circ}$.
- Đường thẳng cắt mặt phẳng
Cách 1. Xác định giao điểm $I$ của đường thẳng $a$ với mặt phẳng $(P)$. Từ điểm $A$ bất kì trên $a$, kẻ $AH \perp (P)$ tại $H$.

Khi đó $\widehat{(a,(P))} = \widehat{AIH} = \alpha \in \left[ 0^{\circ}; 90^{\circ} \right]$.
Nếu $a \perp (P)$ thì $\widehat{(a,(P))} = 90^{\circ}$.
Cách 2. Nếu $\overrightarrow{u_a}\left( u_1, u_2, u_3 \right), \overrightarrow{n_{(P)}}\left( n_1, n_2, n_3 \right)$ và $\alpha = \widehat{(a,(P))}$ thì
$\sin\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{u_a}, \overrightarrow{n_{(P)}} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{u_a} \cdot \overrightarrow{n_{(P)}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_a} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n_{(P)}} \right|} = \frac{\left| u_1 n_1 + u_2 n_2 + u_3 n_3 \right|}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \cdot \sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}}$

- Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau: $\widehat{((P),(Q))} = 0^{\circ}$.
- Hai mặt phẳng cắt nhau
Cách 1. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
$\left\{ \begin{array}{l} a \perp (P) \\ b \perp (Q) \end{array} \right. \Rightarrow \widehat{((P),(Q))} = \widehat{(a,b)}$
Nhận xét. Lúc này bài toán tìm góc giữa hai mặt phẳng được đưa về bài toán tìm góc giữa hai đường thẳng.
Cách 2.
- Xác định giao tuyến $a = (P) \cap (Q)$;
- Tìm điểm $I$ trên $a$ sao cho từ $I$ kẻ được hai đường thẳng $c$ và $d$ lần lượt nằm trong hai mặt phẳng $(P),(Q)$ và cùng vuông góc với $a$;

- Góc giữa hai đường thẳng $c$ và $d$ chính là góc cần tìm: $\widehat{((P),(Q))} = \widehat{(c,d)}$.
Cách 3 (Giải tích không gian). Nếu mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_{(P)}}$ và $\overrightarrow{n_{(Q)}}$. Khi đó $\widehat{((P),(Q))} = \alpha$ thoả mãn $\cos\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{(P)}}, \overrightarrow{n_{(Q)}} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{(P)}} \cdot \overrightarrow{n_{(Q)}} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{(P)}} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n_{(Q)}} \right|}$.

Góc nhị diện
Định nghĩa. Cho hai nửa mặt phẳng $\left( P_1 \right)$ và $\left( Q_1 \right)$ có chung bờ là đường thẳng $d$. Hình tạo bởi $\left( P_1 \right), \left( Q_1 \right)$ và $d$ được gọi là góc nhị diện tạo bởi $\left( P_1 \right)$ và $\left( Q_1 \right)$. Kí hiệu: $\left[ P_1, d, Q_1 \right]$.
Chú ý
- Hai nửa mặt phẳng $\left( P_1 \right), \left( Q_1 \right)$ gọi là hai mặt của nhị diện.
- $d$ gọi là cạnh của nhị diện.
- $\left[ P_1, d, Q_1 \right] \in \left[ 0^{\circ}; 180^{\circ} \right]$.
- $\left[ P_1, d, Q_1 \right] = 0^{\circ} \Leftrightarrow$ Hai nửa mặt phẳng $\left( P_1 \right)$ và $\left( Q_1 \right)$ chung bờ $d$ trùng nhau.
- $\left[ P_1, d, Q_1 \right] = 180^{\circ} \Leftrightarrow$ Hai nửa mặt phẳng $\left( P_1 \right)$ và $\left( Q_1 \right)$ chung bờ $d$ tạo thành một mặt phẳng.
Góc phẳng nhị diện
Định nghĩa. Góc phẳng nhị diện là góc tạo bởi hai tia vuông góc với cạnh của góc nhị diện, mỗi tia nằm trên một mặt của góc nhị diện. Trên hình, $\widehat{AIB}$ là góc phẳng nhị diện của $\left[ P_1, d, Q_1 \right]$.
$\widehat{AIB} \in \left[ 0^{\circ}; 180^{\circ} \right]$

Chú ý. Số đo của một góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện đó.
Kí hiệu góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng $(P),(Q)$ chung bờ $d$ là: $[P,d,Q] = [M,d,N]$, với $\forall M \in (P), N \in (Q)$.

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ là: $V = \frac{1}{3} S \cdot h$.

Thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích đáy lớn $S$, diện tích đáy bé $S'$ và chiều cao $h$ là: $V = \frac{1}{3}\left( S + \sqrt{S \cdot S'} + S' \right) \cdot h$

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ là: $V = S \cdot h$.

Chú ý $V_{ABCD} = \left[ \begin{array}{l} \frac{1}{3} S_{\Delta BCD} \cdot d(A,(BCD)) \\ \frac{1}{6} \left| \left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right] \cdot \overrightarrow{AD} \right| \end{array} \right.$

$V_{ABCD \cdot A'B'C'D'} = \left[ \begin{array}{l} S_{ABCD} \cdot d\left( A', (ABCD) \right) \\ \left| \left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} \right] \cdot \overrightarrow{AA'} \right| \end{array} \right.$