Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng
- Vectơ $\vec{a}$ khác $\vec{0}$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $d$ được gọi là vectơ chỉ phương của $d$.
- Nếu $\vec{a}$ là vectơ chỉ phương của $d$ thì $k\vec{a}$ $(k \neq 0)$ cũng là vectơ chỉ phương của $d$.
- Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian $Oxyz$, phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và nhận $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$ làm vectơ chỉ phương có dạng: $\left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + a_1 t \\ y = y_0 + a_2 t \\ z = z_0 + a_3 t \end{array} \right.$ với $t \in \mathbb{R}$ ($t$ được gọi là tham số).
Chú ý:
- Trong phương trình tham số của đường thẳng $d: \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + a_1 t \\ y = y_0 + a_2 t \\ z = z_0 + a_3 t \end{array} \right.$, mỗi giá trị của tham số $t$ xác định duy nhất một điểm $M$ trên $d$ và ngược lại.
- Từ nay để cho gọn, trong phương trình tham số của đường thẳng, ta không viết $t \in \mathbb{R}$.
- Phương trình chính tắc của đường thẳng
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$.
Nếu $a_1, a_2, a_3$ đều khác 0 thì hệ phương trình
$\frac{x - x_0}{a_1} = \frac{y - y_0}{a_2} = \frac{z - z_0}{a_3}$ gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $d$.
- Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm
Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d$ đi qua hai điểm phân biệt $A(x_A; y_A; z_A)$, $B(x_B; y_B; z_B)$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$ và có phương trình tham số: $\left\{ \begin{array}{l} x = x_A + (x_B - x_A)t \\ y = y_A + (y_B - y_A)t \\ z = z_A + (z_B - z_A)t \end{array} \right.$
Nếu $x_A \neq x_B, y_A \neq y_B, z_A \neq z_B$ thì $d$ có phương trình chính tắc:
$\frac{x - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y - y_A}{y_B - y_A} = \frac{z - z_A}{z_B - z_A}$.

- Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau
Gọi $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$ và $\vec{a'} = (a_1'; a_2'; a_3')$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng $d$ và $d'$. Gọi $M(x_0; y_0; z_0)$ là một điểm trên $d$.

Ta có: $d // d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \vec{a} = k\vec{a'}, k \in \mathbb{R} \\ M \notin d'; \end{array} \right.$
$d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \vec{a} = k\vec{a'}, k \in \mathbb{R} \\ M \in d' \end{array} \right.$
Cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a}$, đường thẳng $d'$ đi qua điểm $M'$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a'}$.
- Nếu ba vectơ $\vec{a}, \vec{a'}, \overrightarrow{MM'}$ cùng phương thì $d \equiv d'$.
- Nếu hai vectơ $\vec{a}, \vec{a'}$ cùng phương và hai vectơ $\vec{a}, \overrightarrow{MM'}$ không cùng phương thì $d // d'$.
- Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau
Xét hệ phương trình ẩn $t$ và $t'$: $\left\{ \begin{array}{l} x_0 + a_1 t = x_0' + a_1' t' \\ y_0 + a_2 t = y_0' + a_2' t' \\ z_0 + a_3 t = z_0' + a_3' t' \end{array} \right.$
- Hai đường thẳng $d$ và $d'$ cắt nhau khi và chỉ khi hệ trên có đúng một nghiệm.
- Hai đường thẳng $d$ và $d'$ chéo nhau khi và chỉ khi $\vec{a}, \vec{a'}$ không cùng phương và hệ trên vô nghiệm.
Cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a}$, đường thẳng $d'$ đi qua điểm $M'$ và có vectơ chỉ phương $\vec{a'}$. Để xét vị trí tương đối của $d$ và $d'$, trước hết ta kiểm tra tính cùng phương của hai vectơ chỉ phương của $d$ và $d'$.
- Nếu $\vec{a}$ và $\vec{a'}$ cùng phương thì $d$ và $d'$ hoặc song song hoặc trùng nhau.
- Nếu $\vec{a}$ và $\vec{a'}$ không cùng phương thì $d$ và $d'$ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.
+ Nếu $\left[ \vec{a}, \vec{a'} \right] \cdot \overrightarrow{MM'} = 0$ thì $d$ và $d'$ cắt nhau.
+ Nếu $\left[ \vec{a}, \vec{a'} \right] \cdot \overrightarrow{MM'} \neq 0$ thì $d$ và $d'$ chéo nhau.
- Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Cho hai đường thẳng $d$ và $d'$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$ và $\vec{a'} = (a_1'; a_2'; a_3')$. Ta có $d \perp d' \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{a'} = 0 \Leftrightarrow a_1 a_1' + a_2 a_2' + a_3 a_3' = 0.$

- Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$ và $\vec{a'} = (a_1'; a_2'; a_3')$ được tính bởi công thức:
$\begin{array}{ll} \cos(d, d') & = \left| \cos\left( \vec{a}, \vec{a'} \right) \right| = \frac{\left| \vec{a} \cdot \vec{a'} \right|}{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{a'} \right|} \\ & = \frac{\left| a_1 \cdot a_1' + a_2 \cdot a_2' + a_3 \cdot a_3' \right|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{{a_1'}^2 + {a_2'}^2 + {a_3'}^2}}. \end{array}$
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (n_1; n_2; n_3)$ được tính bởi công thức:
$\sin(d, (P)) = \left| \cos\left( \vec{a}, \vec{n} \right) \right| = \frac{\left| \vec{a} \cdot \vec{n} \right|}{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{n} \right|} = \frac{\left| a_1 \cdot n_1 + a_2 \cdot n_2 + a_3 \cdot n_3 \right|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2}}.$
Nếu đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ thì $d$ vuông góc với $(P)$.
- Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(P')$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n} = (n_1; n_2; n_3)$ và $\vec{n'} = (n_1'; n_2'; n_3')$ được tính bởi công thức:
$\cos\left( (P), (P') \right) = \left| \cos\left( \vec{n}, \vec{n'} \right) \right| = \frac{\left| \vec{n} \cdot \vec{n'} \right|}{\left| \vec{n} \right| \cdot \left| \vec{n'} \right|} = \frac{\left| n_1 \cdot n_1' + n_2 \cdot n_2' + n_3 \cdot n_3' \right|}{\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2} \cdot \sqrt{{n_1'}^2 + {n_2'}^2 + {n_3'}^2}}$
Nếu hai mặt phẳng $(P)$ và $(P')$ có hai vectơ pháp tuyến vuông góc thì $(P) \perp (P')$.