1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Cho mặt phẳng $(\alpha)$.
- Nếu vectơ $n$ khác $0$ và có giá vuông góc với $(\alpha)$ thì $n$ được gọi là vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.
- Nếu hai vectơ $a,b$ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong $(\alpha)$ thì $a,b$ được gọi là cặp vectơ chỉ phương của $(\alpha)$.
Chú ý:
a) Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó hoặc biết một điểm và một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó.
b) Nếu $n$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ thì $kn\,(k\neq 0)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.
2. Xác định vectơ pháp tuyến khi biết một cặp vectơ chỉ phương
Trong không gian $Oxyz$, nếu mặt phẳng $(\alpha)$ nhận hai vectơ $a=(a_1;a_2;a_3)$, $b=(b_1;b_2;b_3)$ làm cặp vectơ chỉ phương thì $(\alpha)$ nhận vectơ
$n=(a_2b_3-a_3b_2;a_3b_1-a_1b_3;a_1b_2-a_2b_1)$ làm vectơ pháp tuyến.
Chú ý:
a) Vectơ $n=(a_2b_3-a_3b_2;a_3b_1-a_1b_3;a_1b_2-a_2b_1)$ được gọi là tích có hướng của hai vectơ $a=(a_1;a_2;a_3)$ và $b=(b_1;b_2;b_3)$, kí hiệu là $[a,b]$.
b) Biểu thức $a_1b_2-a_2b_1$ thường được kí hiệu là $\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right|$.
Tương tự, $\left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{array}\right|=a_2b_3-a_3b_2, \left|\begin{array}{ll} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{array}\right|=a_3b_1-a_1b_3$.
Như vậy, ta có thể viết: $[a,b]=\left(\left|\begin{array}{ll} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{array}\right|;\left|\begin{array}{ll} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{array}\right|;\left|\begin{array}{ll} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{array}\right|\right)$.
c) $a$ và $b$ cùng phương $\Leftrightarrow [a,b]=0$.
d) Nếu $n=[a,b]$ thì $n\perp a$ và $n\perp b$.
3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
- Khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng
- Trong không gian $Oxyz$, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng
$Ax+By+Cz+D=0$ trong đó $A,B,C$ không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
- Mỗi phương trình $Ax+By+Cz+D=0$ (trong đó $A,B,C$ không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận $n=(A;B;C)$ làm vectơ pháp tuyến.
- Cho mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình tổng quát là $Ax+By+Cz+D=0$. Khi đó
$N(x_0;y_0;z_0)\in (\alpha)\Leftrightarrow Ax_0+By_0+Cz_0+D=0.$
- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến
Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $n=(A;B;C)$ là
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ hay $Ax+By+Cz+D=0$, $D=-Ax_0-By_0-Cz_0$.
- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương
Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có cặp vectơ chỉ phương $a,b$, ta thực hiện như sau:
- Tìm một vectơ pháp tuyến $n=[a,b]$.
- Viết phương trình $(\alpha)$ đi qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $n$.
- Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng
Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng, ta thực hiện như sau:
- Tìm cặp vectơ chỉ phương, chẳng hạn $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.
- Tìm một vectơ pháp tuyến $n=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]$.
- Viết phương trình $(\alpha)$ đi qua $A$ và có vectơ pháp tuyến $n$.
- Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Phương trình mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm $A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)$ với $a,b,c\neq 0$ có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$, được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc
- Điều kiện để hai mặt phẳng song song
Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha_1): A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ và $(\alpha_2): A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$
có vectơ pháp tuyến lần lượt là $n_1=(A_1;B_1;C_1)$, $n_2=(A_2;B_2;C_2)$.
Khi đó $(\alpha_1)//(\alpha_2)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} n_1=kn_2 \\ D_1\neq kD_2 \end{array}\right.\,(k\in \mathbb{R})$.
Chú ý: $(\alpha_1)\equiv (\alpha_2)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{n_1}=k\overrightarrow{n_2} \\ D_1=kD_2 \end{array}\right.\,\,(k\in \mathbb{R})$
$(\alpha_1)$ cắt $(\alpha_2)\Leftrightarrow n_1$ và $n_2$ không cùng phương.
- Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng
$(\alpha_1): A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ và $(\alpha_2): A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$
có vectơ pháp tuyến lần lượt là $n_1=(A_1;B_1;C_1)$, $n_2=(A_2;B_2;C_2)$.
Khi đó $(\alpha_1)\perp (\alpha_2)\Leftrightarrow n_1\cdot n_2=0$
5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $Ax+By+Cz+D=0$ và điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ được tính theo công thức:
$d(M_0,(\alpha))=\frac{\left|Ax_0+By_0+Cz_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$
