Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$.
- Tích phân từ $a$ đến $b$ của hàm số $f(x)$ xác định bởi
$\int_a^b f(x)\,dx=\left.F(x)\right|_a^b=F(b)-F(a)$ với $F(x)$ là một nguyên hàm bất kì của $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$.
- Quy ước: $\int_a^a f(x)\,dx=0,\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$.
- Tích phân không phụ thuộc vào kí hiệu của biến số: $\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^b f(u)\,du$.
- Ý nghĩa hình học:
Nếu $f(x)$ liên tục và không âm trên $[a;b]$ thì $\int_a^b f(x)\,dx$ là diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$.
$S=\int_a^b f(x)\,dx$
- Giá trị trung bình của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ là $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.
2. Tính chất của tích phân
Cho các hàm số $f(x),g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Khi đó:
- $\int_a^b kf(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx$ ($k$ là số thực);
- $\int_a^b [f(x)+g(x)]\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx$;
- $\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx=\int_a^b f(x)\,dx-\int_a^b g(x)\,dx$;
- $\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$ $(a<c<b)$.
